Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 104190 / 99600
↖ ↑ ↗
← S 67.892086°
E106.166382°		 ← 114.92 m → S 67.892086°
E106.169128°		 →
↑
114.93 m
↓
↑
114.93 m
↓
S 67.893120°
E106.166382°		 ← 114.92 m →
13 208 m²		 S 67.893120°
E106.169128°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104190 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99600 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.794910430908203 y=0.759891510009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.794910430908203 × 217)
    floor (0.794910430908203 × 131072)
    floor (104190.5)     		tx = 104190
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759891510009766 × 217)
    floor (0.759891510009766 × 131072)
    floor (99600.5)     		ty = 99600
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104190 / 99600 ti = "17/104190/99600"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104190/99600.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104190 ÷ 217
    104190 ÷ 131072     		x = 0.794906616210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99600 ÷ 217
    99600 ÷ 131072     		y = 0.7598876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.794906616210938 × 2 - 1) × π
    0.589813232421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.85295292
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7598876953125 × 2 - 1) × π
    -0.519775390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.63292254865759
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.85295292} λ = 1.85295292}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63292254865759))-π/2
    2×atan(0.195357796344234)-π/2
    2×0.192927943804752-π/2
    0.385855887609505-1.57079632675     		φ = -1.18494044
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.85295292} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 106.166382°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18494044 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.892086°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104190 KachelY 99600 1.85295292 -1.18494044 106.166382 -67.892086
    Oben rechts KachelX + 1 104191 KachelY 99600 1.85300085 -1.18494044 106.169128 -67.892086
    Unten links KachelX 104190 KachelY + 1 99601 1.85295292 -1.18495848 106.166382 -67.893120
    Unten rechts KachelX + 1 104191 KachelY + 1 99601 1.85300085 -1.18495848 106.169128 -67.893120
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18494044--1.18495848) × R
    1.80399999998304e-05 × 6371000     		dl = 114.93283999892m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18494044--1.18495848) × R
    1.80399999998304e-05 × 6371000     		dr = 114.93283999892m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.85295292-1.85300085) × cos(-1.18494044) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.37635223363426 × 6371000     		do = 114.923682057662m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.85295292-1.85300085) × cos(-1.18495848) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.376335519934126 × 6371000     		du = 114.91857832826m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18494044)-sin(-1.18495848))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.37635223363426-0.376335519934126)×R²
    abs(1.85300085-1.85295292)×1.67137001342299e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.67137001342299e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.67137001342299e-05×40589641000000     		ar = 13208.2118694314m²