Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 104189 / 99605
↖ ↑ ↗
← S 67.897254°
E106.163635°		 ← 114.92 m → S 67.897254°
E106.166382°		 →
↑
114.93 m
↓
↑
114.93 m
↓
S 67.898287°
E106.163635°		 ← 114.92 m →
13 208 m²		 S 67.898287°
E106.166382°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104189 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99605 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.794902801513672 y=0.759929656982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.794902801513672 × 217)
    floor (0.794902801513672 × 131072)
    floor (104189.5)     		tx = 104189
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759929656982422 × 217)
    floor (0.759929656982422 × 131072)
    floor (99605.5)     		ty = 99605
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104189 / 99605 ti = "17/104189/99605"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104189/99605.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104189 ÷ 217
    104189 ÷ 131072     		x = 0.794898986816406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99605 ÷ 217
    99605 ÷ 131072     		y = 0.759925842285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.794898986816406 × 2 - 1) × π
    0.589797973632812 × 3.1415926535     		Λ = 1.85290498
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.759925842285156 × 2 - 1) × π
    -0.519851684570312 × 3.1415926535     		Φ = -1.63316223315569
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.85290498} λ = 1.85290498}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63316223315569))-π/2
    2×atan(0.195310977719941)-π/2
    2×0.192882845914061-π/2
    0.385765691828122-1.57079632675     		φ = -1.18503063
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.85290498} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 106.163635°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18503063 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.897254°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104189 KachelY 99605 1.85290498 -1.18503063 106.163635 -67.897254
    Oben rechts KachelX + 1 104190 KachelY 99605 1.85295292 -1.18503063 106.166382 -67.897254
    Unten links KachelX 104189 KachelY + 1 99606 1.85290498 -1.18504867 106.163635 -67.898287
    Unten rechts KachelX + 1 104190 KachelY + 1 99606 1.85295292 -1.18504867 106.166382 -67.898287
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18503063--1.18504867) × R
    1.80400000000525e-05 × 6371000     		dl = 114.932840000334m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18503063--1.18504867) × R
    1.80400000000525e-05 × 6371000     		dr = 114.932840000334m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.85290498-1.85295292) × cos(-1.18503063) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.376268673173996 × 6371000     		do = 114.922137942911m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.85290498-1.85295292) × cos(-1.18504867) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.376251958861608 × 6371000     		du = 114.917032961681m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18503063)-sin(-1.18504867))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.376268673173996-0.376251958861608)×R²
    abs(1.85295292-1.85290498)×1.67143123883107e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.67143123883107e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.67143123883107e-05×40589641000000     		ar = 13208.0343278806m²