Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 104181 / 99857
↖ ↑ ↗
← S 68.156231°
E106.141663°		 ← 113.62 m → S 68.156231°
E106.144409°		 →
↑
113.66 m
↓
↑
113.66 m
↓
S 68.157253°
E106.141663°		 ← 113.61 m →
12 913 m²		 S 68.157253°
E106.144409°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104181 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99857 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.794841766357422 y=0.761852264404297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.794841766357422 × 217)
    floor (0.794841766357422 × 131072)
    floor (104181.5)     		tx = 104181
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761852264404297 × 217)
    floor (0.761852264404297 × 131072)
    floor (99857.5)     		ty = 99857
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104181 / 99857 ti = "17/104181/99857"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104181/99857.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104181 ÷ 217
    104181 ÷ 131072     		x = 0.794837951660156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99857 ÷ 217
    99857 ÷ 131072     		y = 0.761848449707031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.794837951660156 × 2 - 1) × π
    0.589675903320312 × 3.1415926535     		Λ = 1.85252149
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.761848449707031 × 2 - 1) × π
    -0.523696899414062 × 3.1415926535     		Φ = -1.64524233185995
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.85252149} λ = 1.85252149}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64524233185995))-π/2
    2×atan(0.192965795367274)-π/2
    2×0.190622843297028-π/2
    0.381245686594057-1.57079632675     		φ = -1.18955064
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.85252149} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 106.141663°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18955064 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.156231°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104181 KachelY 99857 1.85252149 -1.18955064 106.141663 -68.156231
    Oben rechts KachelX + 1 104182 KachelY 99857 1.85256942 -1.18955064 106.144409 -68.156231
    Unten links KachelX 104181 KachelY + 1 99858 1.85252149 -1.18956848 106.141663 -68.157253
    Unten rechts KachelX + 1 104182 KachelY + 1 99858 1.85256942 -1.18956848 106.144409 -68.157253
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18955064--1.18956848) × R
    1.78399999999357e-05 × 6371000     		dl = 113.65863999959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18955064--1.18956848) × R
    1.78399999999357e-05 × 6371000     		dr = 113.65863999959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.85252149-1.85256942) × cos(-1.18955064) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.372077006602017 × 6371000     		do = 113.618190052385m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.85252149-1.85256942) × cos(-1.18956848) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.372060447421547 × 6371000     		du = 113.613133507421m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18955064)-sin(-1.18956848))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.372077006602017-0.372060447421547)×R²
    abs(1.85256942-1.85252149)×1.6559180470388e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.6559180470388e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.6559180470388e-05×40589641000000     		ar = 12913.4016010252m²