Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 104179 / 99357
↖ ↑ ↗
← S 67.639542°
E106.136169°		 ← 116.19 m → S 67.639542°
E106.138916°		 →
↑
116.21 m
↓
↑
116.21 m
↓
S 67.640587°
E106.136169°		 ← 116.19 m →
13 502 m²		 S 67.640587°
E106.138916°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104179 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99357 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.794826507568359 y=0.758037567138672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.794826507568359 × 217)
    floor (0.794826507568359 × 131072)
    floor (104179.5)     		tx = 104179
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758037567138672 × 217)
    floor (0.758037567138672 × 131072)
    floor (99357.5)     		ty = 99357
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104179 / 99357 ti = "17/104179/99357"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104179/99357.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104179 ÷ 217
    104179 ÷ 131072     		x = 0.794822692871094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99357 ÷ 217
    99357 ÷ 131072     		y = 0.758033752441406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.794822692871094 × 2 - 1) × π
    0.589645385742188 × 3.1415926535     		Λ = 1.85242561
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.758033752441406 × 2 - 1) × π
    -0.516067504882812 × 3.1415926535     		Φ = -1.62127388204992
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.85242561} λ = 1.85242561}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62127388204992))-π/2
    2×atan(0.197646759987566)-π/2
    2×0.195131808481889-π/2
    0.390263616963779-1.57079632675     		φ = -1.18053271
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.85242561} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 106.136169°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18053271 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.639542°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104179 KachelY 99357 1.85242561 -1.18053271 106.136169 -67.639542
    Oben rechts KachelX + 1 104180 KachelY 99357 1.85247355 -1.18053271 106.138916 -67.639542
    Unten links KachelX 104179 KachelY + 1 99358 1.85242561 -1.18055095 106.136169 -67.640587
    Unten rechts KachelX + 1 104180 KachelY + 1 99358 1.85247355 -1.18055095 106.138916 -67.640587
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18053271--1.18055095) × R
    1.82399999999472e-05 × 6371000     		dl = 116.207039999664m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18053271--1.18055095) × R
    1.82399999999472e-05 × 6371000     		dr = 116.207039999664m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.85242561-1.85247355) × cos(-1.18053271) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.380432223471896 × 6371000     		do = 116.193793373673m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.85242561-1.85247355) × cos(-1.18055095) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.380415354896034 × 6371000     		du = 116.188641276408m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18053271)-sin(-1.18055095))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.380432223471896-0.380415354896034)×R²
    abs(1.85247355-1.85242561)×1.6868575862361e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.6868575862361e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.6868575862361e-05×40589641000000     		ar = 13502.2374396582m²