Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 104171 / 99062
↖ ↑ ↗
← S 67.329277°
E106.114197°		 ← 117.70 m → S 67.329277°
E106.116943°		 →
↑
117.74 m
↓
↑
117.74 m
↓
S 67.330335°
E106.114197°		 ← 117.69 m →
13 857 m²		 S 67.330335°
E106.116943°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104171 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99062 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.794765472412109 y=0.755786895751953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.794765472412109 × 217)
    floor (0.794765472412109 × 131072)
    floor (104171.5)     		tx = 104171
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755786895751953 × 217)
    floor (0.755786895751953 × 131072)
    floor (99062.5)     		ty = 99062
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104171 / 99062 ti = "17/104171/99062"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104171/99062.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104171 ÷ 217
    104171 ÷ 131072     		x = 0.794761657714844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99062 ÷ 217
    99062 ÷ 131072     		y = 0.755783081054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.794761657714844 × 2 - 1) × π
    0.589523315429688 × 3.1415926535     		Λ = 1.85204212
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.755783081054688 × 2 - 1) × π
    -0.511566162109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.607132496662
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.85204212} λ = 1.85204212}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.607132496662))-π/2
    2×atan(0.200461615057282)-π/2
    2×0.197839381053787-π/2
    0.395678762107574-1.57079632675     		φ = -1.17511756
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.85204212} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 106.114197°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17511756 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.329277°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104171 KachelY 99062 1.85204212 -1.17511756 106.114197 -67.329277
    Oben rechts KachelX + 1 104172 KachelY 99062 1.85209005 -1.17511756 106.116943 -67.329277
    Unten links KachelX 104171 KachelY + 1 99063 1.85204212 -1.17513604 106.114197 -67.330335
    Unten rechts KachelX + 1 104172 KachelY + 1 99063 1.85209005 -1.17513604 106.116943 -67.330335
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17511756--1.17513604) × R
    1.84800000000429e-05 × 6371000     		dl = 117.736080000273m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17511756--1.17513604) × R
    1.84800000000429e-05 × 6371000     		dr = 117.736080000273m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.85204212-1.85209005) × cos(-1.17511756) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.385434599534581 × 6371000     		do = 117.697091746189m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.85204212-1.85209005) × cos(-1.17513604) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.38541754732307 × 6371000     		du = 117.691884648266m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17511756)-sin(-1.17513604))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.385434599534581-0.38541754732307)×R²
    abs(1.85209005-1.85204212)×1.70522115105487e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.70522115105487e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.70522115105487e-05×40589641000000     		ar = 13856.8876783643m²