Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 104167 / 99063
↖ ↑ ↗
← S 67.330335°
E106.103210°		 ← 117.72 m → S 67.330335°
E106.105957°		 →
↑
117.74 m
↓
↑
117.74 m
↓
S 67.331394°
E106.103210°		 ← 117.71 m →
13 859 m²		 S 67.331394°
E106.105957°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104167 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99063 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.794734954833984 y=0.755794525146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.794734954833984 × 217)
    floor (0.794734954833984 × 131072)
    floor (104167.5)     		tx = 104167
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755794525146484 × 217)
    floor (0.755794525146484 × 131072)
    floor (99063.5)     		ty = 99063
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104167 / 99063 ti = "17/104167/99063"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104167/99063.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104167 ÷ 217
    104167 ÷ 131072     		x = 0.794731140136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99063 ÷ 217
    99063 ÷ 131072     		y = 0.755790710449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.794731140136719 × 2 - 1) × π
    0.589462280273438 × 3.1415926535     		Λ = 1.85185037
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.755790710449219 × 2 - 1) × π
    -0.511581420898438 × 3.1415926535     		Φ = -1.60718043356162
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.85185037} λ = 1.85185037}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60718043356162))-π/2
    2×atan(0.200452005779284)-π/2
    2×0.197830142988353-π/2
    0.395660285976705-1.57079632675     		φ = -1.17513604
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.85185037} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 106.103210°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17513604 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.330335°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104167 KachelY 99063 1.85185037 -1.17513604 106.103210 -67.330335
    Oben rechts KachelX + 1 104168 KachelY 99063 1.85189831 -1.17513604 106.105957 -67.330335
    Unten links KachelX 104167 KachelY + 1 99064 1.85185037 -1.17515452 106.103210 -67.331394
    Unten rechts KachelX + 1 104168 KachelY + 1 99064 1.85189831 -1.17515452 106.105957 -67.331394
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17513604--1.17515452) × R
    1.84800000000429e-05 × 6371000     		dl = 117.736080000273m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17513604--1.17515452) × R
    1.84800000000429e-05 × 6371000     		dr = 117.736080000273m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.85185037-1.85189831) × cos(-1.17513604) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.38541754732307 × 6371000     		do = 117.716439600057m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.85185037-1.85189831) × cos(-1.17515452) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.385400494979936 × 6371000     		du = 117.711231375536m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17513604)-sin(-1.17515452))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.38541754732307-0.385400494979936)×R²
    abs(1.85189831-1.85185037)×1.70523431346492e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.70523431346492e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.70523431346492e-05×40589641000000     		ar = 13859.1655523931m²