Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 104163 / 97883
↖ ↑ ↗
← S 66.048142°
E106.092224°		 ← 123.99 m → S 66.048142°
E106.094971°		 →
↑
123.98 m
↓
↑
123.98 m
↓
S 66.049257°
E106.092224°		 ← 123.99 m →
15 372 m²		 S 66.049257°
E106.094971°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104163 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97883 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.794704437255859 y=0.746791839599609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.794704437255859 × 217)
    floor (0.794704437255859 × 131072)
    floor (104163.5)     		tx = 104163
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746791839599609 × 217)
    floor (0.746791839599609 × 131072)
    floor (97883.5)     		ty = 97883
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104163 / 97883 ti = "17/104163/97883"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104163/97883.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104163 ÷ 217
    104163 ÷ 131072     		x = 0.794700622558594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97883 ÷ 217
    97883 ÷ 131072     		y = 0.746788024902344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.794700622558594 × 2 - 1) × π
    0.589401245117188 × 3.1415926535     		Λ = 1.85165862
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.746788024902344 × 2 - 1) × π
    -0.493576049804688 × 3.1415926535     		Φ = -1.55061489200996
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.85165862} λ = 1.85165862}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55061489200996))-π/2
    2×atan(0.212117504359935)-π/2
    2×0.209019394691089-π/2
    0.418038789382178-1.57079632675     		φ = -1.15275754
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.85165862} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 106.092224°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15275754 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.048142°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104163 KachelY 97883 1.85165862 -1.15275754 106.092224 -66.048142
    Oben rechts KachelX + 1 104164 KachelY 97883 1.85170656 -1.15275754 106.094971 -66.048142
    Unten links KachelX 104163 KachelY + 1 97884 1.85165862 -1.15277700 106.092224 -66.049257
    Unten rechts KachelX + 1 104164 KachelY + 1 97884 1.85170656 -1.15277700 106.094971 -66.049257
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15275754--1.15277700) × R
    1.94599999998601e-05 × 6371000     		dl = 123.979659999109m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15275754--1.15277700) × R
    1.94599999998601e-05 × 6371000     		dr = 123.979659999109m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.85165862-1.85170656) × cos(-1.15275754) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.405968907924447 × 6371000     		do = 123.993354119735m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.85165862-1.85170656) × cos(-1.15277700) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.405951123608721 × 6371000     		du = 123.987922331944m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15275754)-sin(-1.15277700))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.405968907924447-0.405951123608721)×R²
    abs(1.85170656-1.85165862)×1.77843157262436e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.77843157262436e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.77843157262436e-05×40589641000000     		ar = 15372.3171707345m²