Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 104161 / 98987
↖ ↑ ↗
← S 67.249748°
E106.086731°		 ← 118.09 m → S 67.249748°
E106.089477°		 →
↑
118.12 m
↓
↑
118.12 m
↓
S 67.250810°
E106.086731°		 ← 118.08 m →
13 948 m²		 S 67.250810°
E106.089477°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104161 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98987 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.794689178466797 y=0.755214691162109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.794689178466797 × 217)
    floor (0.794689178466797 × 131072)
    floor (104161.5)     		tx = 104161
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755214691162109 × 217)
    floor (0.755214691162109 × 131072)
    floor (98987.5)     		ty = 98987
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104161 / 98987 ti = "17/104161/98987"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104161/98987.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104161 ÷ 217
    104161 ÷ 131072     		x = 0.794685363769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98987 ÷ 217
    98987 ÷ 131072     		y = 0.755210876464844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.794685363769531 × 2 - 1) × π
    0.589370727539062 × 3.1415926535     		Λ = 1.85156275
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.755210876464844 × 2 - 1) × π
    -0.510421752929688 × 3.1415926535     		Φ = -1.6035372291905
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.85156275} λ = 1.85156275}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6035372291905))-π/2
    2×atan(0.201183625313454)-π/2
    2×0.198533401625825-π/2
    0.397066803251649-1.57079632675     		φ = -1.17372952
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.85156275} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 106.086731°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17372952 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.249748°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104161 KachelY 98987 1.85156275 -1.17372952 106.086731 -67.249748
    Oben rechts KachelX + 1 104162 KachelY 98987 1.85161068 -1.17372952 106.089477 -67.249748
    Unten links KachelX 104161 KachelY + 1 98988 1.85156275 -1.17374806 106.086731 -67.250810
    Unten rechts KachelX + 1 104162 KachelY + 1 98988 1.85161068 -1.17374806 106.089477 -67.250810
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17372952--1.17374806) × R
    1.85400000001223e-05 × 6371000     		dl = 118.118340000779m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17372952--1.17374806) × R
    1.85400000001223e-05 × 6371000     		dr = 118.118340000779m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.85156275-1.85161068) × cos(-1.17372952) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.386715021130568 × 6371000     		do = 118.088083883996m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.85156275-1.85161068) × cos(-1.17374806) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.386697923489652 × 6371000     		du = 118.082862913657m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17372952)-sin(-1.17374806))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.386715021130568-0.386697923489652)×R²
    abs(1.85161068-1.85156275)×1.7097640916397e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.7097640916397e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.7097640916397e-05×40589641000000     		ar = 13948.0600963987m²