Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 104159 / 99353
↖ ↑ ↗
← S 67.635362°
E106.081238°		 ← 116.21 m → S 67.635362°
E106.083984°		 →
↑
116.21 m
↓
↑
116.21 m
↓
S 67.636407°
E106.081238°		 ← 116.21 m →
13 505 m²		 S 67.636407°
E106.083984°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104159 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99353 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.794673919677734 y=0.758007049560547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.794673919677734 × 217)
    floor (0.794673919677734 × 131072)
    floor (104159.5)     		tx = 104159
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758007049560547 × 217)
    floor (0.758007049560547 × 131072)
    floor (99353.5)     		ty = 99353
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104159 / 99353 ti = "17/104159/99353"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104159/99353.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104159 ÷ 217
    104159 ÷ 131072     		x = 0.794670104980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99353 ÷ 217
    99353 ÷ 131072     		y = 0.758003234863281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.794670104980469 × 2 - 1) × π
    0.589340209960938 × 3.1415926535     		Λ = 1.85146687
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.758003234863281 × 2 - 1) × π
    -0.516006469726562 × 3.1415926535     		Φ = -1.62108213445144
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.85146687} λ = 1.85146687}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62108213445144))-π/2
    2×atan(0.197684661912826)-π/2
    2×0.1951682851986-π/2
    0.390336570397199-1.57079632675     		φ = -1.18045976
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.85146687} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 106.081238°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18045976 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.635362°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104159 KachelY 99353 1.85146687 -1.18045976 106.081238 -67.635362
    Oben rechts KachelX + 1 104160 KachelY 99353 1.85151481 -1.18045976 106.083984 -67.635362
    Unten links KachelX 104159 KachelY + 1 99354 1.85146687 -1.18047800 106.081238 -67.636407
    Unten rechts KachelX + 1 104160 KachelY + 1 99354 1.85151481 -1.18047800 106.083984 -67.636407
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18045976--1.18047800) × R
    1.82399999999472e-05 × 6371000     		dl = 116.207039999664m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18045976--1.18047800) × R
    1.82399999999472e-05 × 6371000     		dr = 116.207039999664m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.85146687-1.85151481) × cos(-1.18045976) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.380499687261791 × 6371000     		do = 116.214398551625m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.85146687-1.85151481) × cos(-1.18047800) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.380482819192168 × 6371000     		du = 116.209246608978m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18045976)-sin(-1.18047800))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.380499687261791-0.380482819192168)×R²
    abs(1.85151481-1.85146687)×1.68680696225887e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.68680696225887e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.68680696225887e-05×40589641000000     		ar = 13504.6319153153m²