Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 104153 / 99833
↖ ↑ ↗
← S 68.131691°
E106.064758°		 ← 113.76 m → S 68.131691°
E106.067505°		 →
↑
113.79 m
↓
↑
113.79 m
↓
S 68.132715°
E106.064758°		 ← 113.76 m →
12 944 m²		 S 68.132715°
E106.067505°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104153 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99833 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.794628143310547 y=0.761669158935547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.794628143310547 × 217)
    floor (0.794628143310547 × 131072)
    floor (104153.5)     		tx = 104153
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761669158935547 × 217)
    floor (0.761669158935547 × 131072)
    floor (99833.5)     		ty = 99833
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104153 / 99833 ti = "17/104153/99833"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104153/99833.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104153 ÷ 217
    104153 ÷ 131072     		x = 0.794624328613281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99833 ÷ 217
    99833 ÷ 131072     		y = 0.761665344238281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.794624328613281 × 2 - 1) × π
    0.589248657226562 × 3.1415926535     		Λ = 1.85117925
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.761665344238281 × 2 - 1) × π
    -0.523330688476562 × 3.1415926535     		Φ = -1.64409184626907
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.85117925} λ = 1.85117925}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64409184626907))-π/2
    2×atan(0.193187927489779)-π/2
    2×0.190836992230414-π/2
    0.381673984460828-1.57079632675     		φ = -1.18912234
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.85117925} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 106.064758°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18912234 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.131691°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104153 KachelY 99833 1.85117925 -1.18912234 106.064758 -68.131691
    Oben rechts KachelX + 1 104154 KachelY 99833 1.85122719 -1.18912234 106.067505 -68.131691
    Unten links KachelX 104153 KachelY + 1 99834 1.85117925 -1.18914020 106.064758 -68.132715
    Unten rechts KachelX + 1 104154 KachelY + 1 99834 1.85122719 -1.18914020 106.067505 -68.132715
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18912234--1.18914020) × R
    1.78600000000362e-05 × 6371000     		dl = 113.786060000231m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18912234--1.18914020) × R
    1.78600000000362e-05 × 6371000     		dr = 113.786060000231m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.85117925-1.85122719) × cos(-1.18912234) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.372474521321336 × 6371000     		do = 113.76330630564m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.85117925-1.85122719) × cos(-1.18914020) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.372457946424332 × 6371000     		du = 113.758243905457m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18912234)-sin(-1.18914020))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.372474521321336-0.372457946424332)×R²
    abs(1.85122719-1.85117925)×1.6574897003574e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.6574897003574e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.6574897003574e-05×40589641000000     		ar = 12944.3903822345m²