Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 104153 / 99047
↖ ↑ ↗
← S 67.313392°
E106.064758°		 ← 117.80 m → S 67.313392°
E106.067505°		 →
↑
117.80 m
↓
↑
117.80 m
↓
S 67.314451°
E106.064758°		 ← 117.79 m →
13 876 m²		 S 67.314451°
E106.067505°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104153 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99047 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.794628143310547 y=0.755672454833984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.794628143310547 × 217)
    floor (0.794628143310547 × 131072)
    floor (104153.5)     		tx = 104153
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755672454833984 × 217)
    floor (0.755672454833984 × 131072)
    floor (99047.5)     		ty = 99047
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104153 / 99047 ti = "17/104153/99047"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104153/99047.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104153 ÷ 217
    104153 ÷ 131072     		x = 0.794624328613281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99047 ÷ 217
    99047 ÷ 131072     		y = 0.755668640136719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.794624328613281 × 2 - 1) × π
    0.589248657226562 × 3.1415926535     		Λ = 1.85117925
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.755668640136719 × 2 - 1) × π
    -0.511337280273438 × 3.1415926535     		Φ = -1.6064134431677
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.85117925} λ = 1.85117925}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6064134431677))-π/2
    2×atan(0.200605809517614)-π/2
    2×0.197978001080094-π/2
    0.395956002160188-1.57079632675     		φ = -1.17484032
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.85117925} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 106.064758°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17484032 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.313392°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104153 KachelY 99047 1.85117925 -1.17484032 106.064758 -67.313392
    Oben rechts KachelX + 1 104154 KachelY 99047 1.85122719 -1.17484032 106.067505 -67.313392
    Unten links KachelX 104153 KachelY + 1 99048 1.85117925 -1.17485881 106.064758 -67.314451
    Unten rechts KachelX + 1 104154 KachelY + 1 99048 1.85122719 -1.17485881 106.067505 -67.314451
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17484032--1.17485881) × R
    1.84899999999821e-05 × 6371000     		dl = 117.799789999886m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17484032--1.17485881) × R
    1.84899999999821e-05 × 6371000     		dr = 117.799789999886m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.85117925-1.85122719) × cos(-1.17484032) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.385690403813518 × 6371000     		do = 117.799776995565m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.85117925-1.85122719) × cos(-1.17485881) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.385673344350999 × 6371000     		du = 117.794566596601m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17484032)-sin(-1.17485881))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.385690403813518-0.385673344350999)×R²
    abs(1.85122719-1.85117925)×1.7059462519009e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.7059462519009e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.7059462519009e-05×40589641000000     		ar = 13876.4821006203m²