Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 104153 / 98991
↖ ↑ ↗
← S 67.253996°
E106.064758°		 ← 118.09 m → S 67.253996°
E106.067505°		 →
↑
118.05 m
↓
↑
118.05 m
↓
S 67.255058°
E106.064758°		 ← 118.09 m →
13 941 m²		 S 67.255058°
E106.067505°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104153 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98991 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.794628143310547 y=0.755245208740234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.794628143310547 × 217)
    floor (0.794628143310547 × 131072)
    floor (104153.5)     		tx = 104153
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755245208740234 × 217)
    floor (0.755245208740234 × 131072)
    floor (98991.5)     		ty = 98991
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104153 / 98991 ti = "17/104153/98991"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104153/98991.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104153 ÷ 217
    104153 ÷ 131072     		x = 0.794624328613281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98991 ÷ 217
    98991 ÷ 131072     		y = 0.755241394042969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.794624328613281 × 2 - 1) × π
    0.589248657226562 × 3.1415926535     		Λ = 1.85117925
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.755241394042969 × 2 - 1) × π
    -0.510482788085938 × 3.1415926535     		Φ = -1.60372897678898
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.85117925} λ = 1.85117925}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60372897678898))-π/2
    2×atan(0.201145052534684)-π/2
    2×0.19849632906573-π/2
    0.396992658131461-1.57079632675     		φ = -1.17380367
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.85117925} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 106.064758°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17380367 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.253996°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104153 KachelY 98991 1.85117925 -1.17380367 106.064758 -67.253996
    Oben rechts KachelX + 1 104154 KachelY 98991 1.85122719 -1.17380367 106.067505 -67.253996
    Unten links KachelX 104153 KachelY + 1 98992 1.85117925 -1.17382220 106.064758 -67.255058
    Unten rechts KachelX + 1 104154 KachelY + 1 98992 1.85122719 -1.17382220 106.067505 -67.255058
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17380367--1.17382220) × R
    1.85299999999611e-05 × 6371000     		dl = 118.054629999752m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17380367--1.17382220) × R
    1.85299999999611e-05 × 6371000     		dr = 118.054629999752m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.85117925-1.85122719) × cos(-1.17380367) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.386646638991684 × 6371000     		do = 118.091835832471m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.85117925-1.85122719) × cos(-1.17382220) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.386629550041545 × 6371000     		du = 118.086616427228m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17380367)-sin(-1.17382220))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.386646638991684-0.386629550041545)×R²
    abs(1.85122719-1.85117925)×1.708895013941e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.708895013941e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.708895013941e-05×40589641000000     		ar = 13940.9798981308m²