Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 104149 / 99651
↖ ↑ ↗
← S 67.944744°
E106.053772°		 ← 114.66 m → S 67.944744°
E106.056518°		 →
↑
114.68 m
↓
↑
114.68 m
↓
S 67.945776°
E106.053772°		 ← 114.66 m →
13 149 m²		 S 67.945776°
E106.056518°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104149 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99651 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.794597625732422 y=0.760280609130859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.794597625732422 × 217)
    floor (0.794597625732422 × 131072)
    floor (104149.5)     		tx = 104149
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760280609130859 × 217)
    floor (0.760280609130859 × 131072)
    floor (99651.5)     		ty = 99651
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104149 / 99651 ti = "17/104149/99651"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104149/99651.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104149 ÷ 217
    104149 ÷ 131072     		x = 0.794593811035156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99651 ÷ 217
    99651 ÷ 131072     		y = 0.760276794433594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.794593811035156 × 2 - 1) × π
    0.589187622070312 × 3.1415926535     		Λ = 1.85098751
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.760276794433594 × 2 - 1) × π
    -0.520553588867188 × 3.1415926535     		Φ = -1.63536733053822
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.85098751} λ = 1.85098751}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63536733053822))-π/2
    2×atan(0.194880772490726)-π/2
    2×0.192468414928447-π/2
    0.384936829856895-1.57079632675     		φ = -1.18585950
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.85098751} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 106.053772°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18585950 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.944744°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104149 KachelY 99651 1.85098751 -1.18585950 106.053772 -67.944744
    Oben rechts KachelX + 1 104150 KachelY 99651 1.85103544 -1.18585950 106.056518 -67.944744
    Unten links KachelX 104149 KachelY + 1 99652 1.85098751 -1.18587750 106.053772 -67.945776
    Unten rechts KachelX + 1 104150 KachelY + 1 99652 1.85103544 -1.18587750 106.056518 -67.945776
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18585950--1.18587750) × R
    1.79999999998515e-05 × 6371000     		dl = 114.677999999054m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18585950--1.18587750) × R
    1.79999999998515e-05 × 6371000     		dr = 114.677999999054m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.85098751-1.85103544) × cos(-1.18585950) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.375500587170663 × 6371000     		do = 114.663621564696m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.85098751-1.85103544) × cos(-1.18587750) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.375483904311023 × 6371000     		du = 114.65852725281m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18585950)-sin(-1.18587750))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.375500587170663-0.375483904311023)×R²
    abs(1.85103544-1.85098751)×1.66828596398494e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.66828596398494e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.66828596398494e-05×40589641000000     		ar = 13149.1026912709m²