Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 104146 / 99654
↖ ↑ ↗
← S 67.947838°
E106.045532°		 ← 114.67 m → S 67.947838°
E106.048279°		 →
↑
114.68 m
↓
↑
114.68 m
↓
S 67.948869°
E106.045532°		 ← 114.67 m →
13 150 m²		 S 67.948869°
E106.048279°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104146 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99654 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.794574737548828 y=0.760303497314453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.794574737548828 × 217)
    floor (0.794574737548828 × 131072)
    floor (104146.5)     		tx = 104146
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760303497314453 × 217)
    floor (0.760303497314453 × 131072)
    floor (99654.5)     		ty = 99654
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104146 / 99654 ti = "17/104146/99654"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104146/99654.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104146 ÷ 217
    104146 ÷ 131072     		x = 0.794570922851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99654 ÷ 217
    99654 ÷ 131072     		y = 0.760299682617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.794570922851562 × 2 - 1) × π
    0.589141845703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.85084369
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.760299682617188 × 2 - 1) × π
    -0.520599365234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.63551114123708
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.85084369} λ = 1.85084369}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63551114123708))-π/2
    2×atan(0.194852748565758)-π/2
    2×0.192441416226652-π/2
    0.384882832453304-1.57079632675     		φ = -1.18591349
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.85084369} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 106.045532°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18591349 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.947838°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104146 KachelY 99654 1.85084369 -1.18591349 106.045532 -67.947838
    Oben rechts KachelX + 1 104147 KachelY 99654 1.85089163 -1.18591349 106.048279 -67.947838
    Unten links KachelX 104146 KachelY + 1 99655 1.85084369 -1.18593149 106.045532 -67.948869
    Unten rechts KachelX + 1 104147 KachelY + 1 99655 1.85089163 -1.18593149 106.048279 -67.948869
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18591349--1.18593149) × R
    1.80000000000735e-05 × 6371000     		dl = 114.678000000468m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18591349--1.18593149) × R
    1.80000000000735e-05 × 6371000     		dr = 114.678000000468m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.85084369-1.85089163) × cos(-1.18591349) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.375450547495202 × 6371000     		do = 114.672261302052m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.85084369-1.85089163) × cos(-1.18593149) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.375433864270676 × 6371000     		du = 114.667165815855m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18591349)-sin(-1.18593149))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.375450547495202-0.375433864270676)×R²
    abs(1.85089163-1.85084369)×1.66832245265813e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.66832245265813e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.66832245265813e-05×40589641000000     		ar = 13150.0934118403m²