Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 104141 / 99595
↖ ↑ ↗
← S 67.886917°
E106.031799°		 ← 114.97 m → S 67.886917°
E106.034546°		 →
↑
115 m
↓
↑
115 m
↓
S 67.887951°
E106.031799°		 ← 114.97 m →
13 221 m²		 S 67.887951°
E106.034546°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104141 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99595 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.794536590576172 y=0.759853363037109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.794536590576172 × 217)
    floor (0.794536590576172 × 131072)
    floor (104141.5)     		tx = 104141
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759853363037109 × 217)
    floor (0.759853363037109 × 131072)
    floor (99595.5)     		ty = 99595
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104141 / 99595 ti = "17/104141/99595"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104141/99595.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104141 ÷ 217
    104141 ÷ 131072     		x = 0.794532775878906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99595 ÷ 217
    99595 ÷ 131072     		y = 0.759849548339844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.794532775878906 × 2 - 1) × π
    0.589065551757812 × 3.1415926535     		Λ = 1.85060401
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.759849548339844 × 2 - 1) × π
    -0.519699096679688 × 3.1415926535     		Φ = -1.63268286415949
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.85060401} λ = 1.85060401}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63268286415949))-π/2
    2×atan(0.195404626191571)-π/2
    2×0.192973051711088-π/2
    0.385946103422176-1.57079632675     		φ = -1.18485022
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.85060401} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 106.031799°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18485022 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.886917°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104141 KachelY 99595 1.85060401 -1.18485022 106.031799 -67.886917
    Oben rechts KachelX + 1 104142 KachelY 99595 1.85065195 -1.18485022 106.034546 -67.886917
    Unten links KachelX 104141 KachelY + 1 99596 1.85060401 -1.18486827 106.031799 -67.887951
    Unten rechts KachelX + 1 104142 KachelY + 1 99596 1.85065195 -1.18486827 106.034546 -67.887951
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18485022--1.18486827) × R
    1.80499999999917e-05 × 6371000     		dl = 114.996549999947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18485022--1.18486827) × R
    1.80499999999917e-05 × 6371000     		dr = 114.996549999947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.85060401-1.85065195) × cos(-1.18485022) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.376435818826467 × 6371000     		do = 114.973188527504m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.85060401-1.85065195) × cos(-1.18486827) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.376419096474431 × 6371000     		du = 114.968081090759m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18485022)-sin(-1.18486827))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.376435818826467-0.376419096474431)×R²
    abs(1.85065195-1.85060401)×1.67223520357029e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.67223520357029e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.67223520357029e-05×40589641000000     		ar = 13221.226354784m²