Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 104130 / 99646
↖ ↑ ↗
← S 67.939587°
E106.001587°		 ← 114.71 m → S 67.939587°
E106.004333°		 →
↑
114.68 m
↓
↑
114.68 m
↓
S 67.940619°
E106.001587°		 ← 114.71 m →
13 155 m²		 S 67.940619°
E106.004333°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104130 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99646 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.794452667236328 y=0.760242462158203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.794452667236328 × 217)
    floor (0.794452667236328 × 131072)
    floor (104130.5)     		tx = 104130
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760242462158203 × 217)
    floor (0.760242462158203 × 131072)
    floor (99646.5)     		ty = 99646
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104130 / 99646 ti = "17/104130/99646"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104130/99646.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104130 ÷ 217
    104130 ÷ 131072     		x = 0.794448852539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99646 ÷ 217
    99646 ÷ 131072     		y = 0.760238647460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.794448852539062 × 2 - 1) × π
    0.588897705078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.85007670
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.760238647460938 × 2 - 1) × π
    -0.520477294921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.63512764604012
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.85007670} λ = 1.85007670}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63512764604012))-π/2
    2×atan(0.194927487989137)-π/2
    2×0.192513420762336-π/2
    0.385026841524672-1.57079632675     		φ = -1.18576949
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.85007670} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 106.001587°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18576949 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.939587°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104130 KachelY 99646 1.85007670 -1.18576949 106.001587 -67.939587
    Oben rechts KachelX + 1 104131 KachelY 99646 1.85012464 -1.18576949 106.004333 -67.939587
    Unten links KachelX 104130 KachelY + 1 99647 1.85007670 -1.18578749 106.001587 -67.940619
    Unten rechts KachelX + 1 104131 KachelY + 1 99647 1.85012464 -1.18578749 106.004333 -67.940619
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18576949--1.18578749) × R
    1.80000000000735e-05 × 6371000     		dl = 114.678000000468m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18576949--1.18578749) × R
    1.80000000000735e-05 × 6371000     		dr = 114.678000000468m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.85007670-1.85012464) × cos(-1.18576949) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.375584008911705 × 6371000     		do = 114.713023853949m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.85007670-1.85012464) × cos(-1.18578749) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.375567326660498 × 6371000     		du = 114.707928665029m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18576949)-sin(-1.18578749))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.375584008911705-0.375567326660498)×R²
    abs(1.85012464-1.85007670)×1.66822512074338e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.66822512074338e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.66822512074338e-05×40589641000000     		ar = 13154.7679969884m²