Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 104128 / 99008
↖ ↑ ↗
← S 67.272043°
E105.996094°		 ← 118 m → S 67.272043°
E105.998841°		 →
↑
117.99 m
↓
↑
117.99 m
↓
S 67.273104°
E105.996094°		 ← 118 m →
13 923 m²		 S 67.273104°
E105.998841°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104128 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99008 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.794437408447266 y=0.755374908447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.794437408447266 × 217)
    floor (0.794437408447266 × 131072)
    floor (104128.5)     		tx = 104128
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755374908447266 × 217)
    floor (0.755374908447266 × 131072)
    floor (99008.5)     		ty = 99008
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104128 / 99008 ti = "17/104128/99008"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104128/99008.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104128 ÷ 217
    104128 ÷ 131072     		x = 0.79443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99008 ÷ 217
    99008 ÷ 131072     		y = 0.75537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.79443359375 × 2 - 1) × π
    0.5888671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.84998083
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75537109375 × 2 - 1) × π
    -0.5107421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.60454390408252
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.84998083} λ = 1.84998083}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60454390408252))-π/2
    2×atan(0.200981200714141)-π/2
    2×0.198338843804634-π/2
    0.396677687609269-1.57079632675     		φ = -1.17411864
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.84998083} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.996094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17411864 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.272043°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104128 KachelY 99008 1.84998083 -1.17411864 105.996094 -67.272043
    Oben rechts KachelX + 1 104129 KachelY 99008 1.85002877 -1.17411864 105.998841 -67.272043
    Unten links KachelX 104128 KachelY + 1 99009 1.84998083 -1.17413716 105.996094 -67.273104
    Unten rechts KachelX + 1 104129 KachelY + 1 99009 1.85002877 -1.17413716 105.998841 -67.273104
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17411864--1.17413716) × R
    1.85199999997998e-05 × 6371000     		dl = 117.990919998725m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17411864--1.17413716) × R
    1.85199999997998e-05 × 6371000     		dr = 117.990919998725m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.84998083-1.85002877) × cos(-1.17411864) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.38635614568282 × 6371000     		do = 118.003111698646m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.84998083-1.85002877) × cos(-1.17413716) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.386339063700524 × 6371000     		du = 117.997894421562m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17411864)-sin(-1.17413716))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.38635614568282-0.386339063700524)×R²
    abs(1.85002877-1.84998083)×1.70819822954971e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.70819822954971e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.70819822954971e-05×40589641000000     		ar = 13922.9879168351m²