Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 104122 / 99140
↖ ↑ ↗
← S 67.411707°
E105.979614°		 ← 117.32 m → S 67.411707°
E105.982361°		 →
↑
117.29 m
↓
↑
117.29 m
↓
S 67.412762°
E105.979614°		 ← 117.31 m →
13 760 m²		 S 67.412762°
E105.982361°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104122 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99140 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.794391632080078 y=0.756381988525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.794391632080078 × 217)
    floor (0.794391632080078 × 131072)
    floor (104122.5)     		tx = 104122
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756381988525391 × 217)
    floor (0.756381988525391 × 131072)
    floor (99140.5)     		ty = 99140
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104122 / 99140 ti = "17/104122/99140"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104122/99140.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104122 ÷ 217
    104122 ÷ 131072     		x = 0.794387817382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99140 ÷ 217
    99140 ÷ 131072     		y = 0.756378173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.794387817382812 × 2 - 1) × π
    0.588775634765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.84969321
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.756378173828125 × 2 - 1) × π
    -0.51275634765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.61087157483237
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.84969321} λ = 1.84969321}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61087157483237))-π/2
    2×atan(0.199713472960945)-π/2
    2×0.197120037906898-π/2
    0.394240075813796-1.57079632675     		φ = -1.17655625
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.84969321} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.979614°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17655625 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.411707°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104122 KachelY 99140 1.84969321 -1.17655625 105.979614 -67.411707
    Oben rechts KachelX + 1 104123 KachelY 99140 1.84974115 -1.17655625 105.982361 -67.411707
    Unten links KachelX 104122 KachelY + 1 99141 1.84969321 -1.17657466 105.979614 -67.412762
    Unten rechts KachelX + 1 104123 KachelY + 1 99141 1.84974115 -1.17657466 105.982361 -67.412762
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17655625--1.17657466) × R
    1.84100000000242e-05 × 6371000     		dl = 117.290110000154m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17655625--1.17657466) × R
    1.84100000000242e-05 × 6371000     		dr = 117.290110000154m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.84969321-1.84974115) × cos(-1.17655625) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.384106671258122 × 6371000     		do = 117.316064307872m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.84969321-1.84974115) × cos(-1.17657466) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.384089673447649 × 6371000     		du = 117.31087273903m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17655625)-sin(-1.17657466))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.384106671258122-0.384089673447649)×R²
    abs(1.84974115-1.84969321)×1.6997810472541e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.6997810472541e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.6997810472541e-05×40589641000000     		ar = 13759.7096279901m²