Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 104116 / 99853
↖ ↑ ↗
← S 68.152143°
E105.963135°		 ← 113.64 m → S 68.152143°
E105.965881°		 →
↑
113.66 m
↓
↑
113.66 m
↓
S 68.153165°
E105.963135°		 ← 113.63 m →
12 916 m²		 S 68.153165°
E105.965881°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104116 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99853 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.794345855712891 y=0.761821746826172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.794345855712891 × 217)
    floor (0.794345855712891 × 131072)
    floor (104116.5)     		tx = 104116
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761821746826172 × 217)
    floor (0.761821746826172 × 131072)
    floor (99853.5)     		ty = 99853
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104116 / 99853 ti = "17/104116/99853"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104116/99853.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104116 ÷ 217
    104116 ÷ 131072     		x = 0.794342041015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99853 ÷ 217
    99853 ÷ 131072     		y = 0.761817932128906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.794342041015625 × 2 - 1) × π
    0.58868408203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.84940559
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.761817932128906 × 2 - 1) × π
    -0.523635864257812 × 3.1415926535     		Φ = -1.64505058426147
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.84940559} λ = 1.84940559}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64505058426147))-π/2
    2×atan(0.193002799642752)-π/2
    2×0.1906585189079-π/2
    0.3813170378158-1.57079632675     		φ = -1.18947929
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.84940559} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.963135°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18947929 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.152143°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104116 KachelY 99853 1.84940559 -1.18947929 105.963135 -68.152143
    Oben rechts KachelX + 1 104117 KachelY 99853 1.84945352 -1.18947929 105.965881 -68.152143
    Unten links KachelX 104116 KachelY + 1 99854 1.84940559 -1.18949713 105.963135 -68.153165
    Unten rechts KachelX + 1 104117 KachelY + 1 99854 1.84945352 -1.18949713 105.965881 -68.153165
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18947929--1.18949713) × R
    1.78399999999357e-05 × 6371000     		dl = 113.65863999959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18947929--1.18949713) × R
    1.78399999999357e-05 × 6371000     		dr = 113.65863999959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.84940559-1.84945352) × cos(-1.18947929) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.3721432328579 × 6371000     		do = 113.638413036321m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.84940559-1.84945352) × cos(-1.18949713) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.372126674151072 × 6371000     		du = 113.633356635989m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18947929)-sin(-1.18949713))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.3721432328579-0.372126674151072)×R²
    abs(1.84945352-1.84940559)×1.65587068278739e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.65587068278739e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.65587068278739e-05×40589641000000     		ar = 12915.7001259986m²