Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 104110 / 99856
↖ ↑ ↗
← S 68.155209°
E105.946656°		 ← 113.62 m → S 68.155209°
E105.949402°		 →
↑
113.66 m
↓
↑
113.66 m
↓
S 68.156231°
E105.946656°		 ← 113.62 m →
12 914 m²		 S 68.156231°
E105.949402°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104110 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99856 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.794300079345703 y=0.761844635009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.794300079345703 × 217)
    floor (0.794300079345703 × 131072)
    floor (104110.5)     		tx = 104110
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761844635009766 × 217)
    floor (0.761844635009766 × 131072)
    floor (99856.5)     		ty = 99856
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104110 / 99856 ti = "17/104110/99856"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104110/99856.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104110 ÷ 217
    104110 ÷ 131072     		x = 0.794296264648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99856 ÷ 217
    99856 ÷ 131072     		y = 0.7618408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.794296264648438 × 2 - 1) × π
    0.588592529296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.84911797
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7618408203125 × 2 - 1) × π
    -0.523681640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.64519439496033
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.84911797} λ = 1.84911797}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64519439496033))-π/2
    2×atan(0.192975045770953)-π/2
    2×0.190631761604491-π/2
    0.381263523208982-1.57079632675     		φ = -1.18953280
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.84911797} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.946656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18953280 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.155209°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104110 KachelY 99856 1.84911797 -1.18953280 105.946656 -68.155209
    Oben rechts KachelX + 1 104111 KachelY 99856 1.84916590 -1.18953280 105.949402 -68.155209
    Unten links KachelX 104110 KachelY + 1 99857 1.84911797 -1.18955064 105.946656 -68.156231
    Unten rechts KachelX + 1 104111 KachelY + 1 99857 1.84916590 -1.18955064 105.949402 -68.156231
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18953280--1.18955064) × R
    1.78399999999357e-05 × 6371000     		dl = 113.65863999959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18953280--1.18955064) × R
    1.78399999999357e-05 × 6371000     		dr = 113.65863999959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.84911797-1.84916590) × cos(-1.18953280) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.372093565664068 × 6371000     		do = 113.623246561188m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.84911797-1.84916590) × cos(-1.18955064) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.372077006602017 × 6371000     		du = 113.618190052385m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18953280)-sin(-1.18955064))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.372093565664068-0.372077006602017)×R²
    abs(1.84916590-1.84911797)×1.65590620511136e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.65590620511136e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.65590620511136e-05×40589641000000     		ar = 12913.9763189344m²