Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 104103 / 99186
↖ ↑ ↗
← S 67.460187°
E105.927429°		 ← 117.05 m → S 67.460187°
E105.930176°		 →
↑
117.10 m
↓
↑
117.10 m
↓
S 67.461240°
E105.927429°		 ← 117.05 m →
13 706 m²		 S 67.461240°
E105.930176°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104103 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99186 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.794246673583984 y=0.756732940673828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.794246673583984 × 217)
    floor (0.794246673583984 × 131072)
    floor (104103.5)     		tx = 104103
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756732940673828 × 217)
    floor (0.756732940673828 × 131072)
    floor (99186.5)     		ty = 99186
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104103 / 99186 ti = "17/104103/99186"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104103/99186.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104103 ÷ 217
    104103 ÷ 131072     		x = 0.794242858886719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99186 ÷ 217
    99186 ÷ 131072     		y = 0.756729125976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.794242858886719 × 2 - 1) × π
    0.588485717773438 × 3.1415926535     		Λ = 1.84878241
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.756729125976562 × 2 - 1) × π
    -0.513458251953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.61307667221489
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.84878241} λ = 1.84878241}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61307667221489))-π/2
    2×atan(0.199273570496601)-π/2
    2×0.196696972465145-π/2
    0.393393944930291-1.57079632675     		φ = -1.17740238
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.84878241} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.927429°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17740238 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.460187°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104103 KachelY 99186 1.84878241 -1.17740238 105.927429 -67.460187
    Oben rechts KachelX + 1 104104 KachelY 99186 1.84883034 -1.17740238 105.930176 -67.460187
    Unten links KachelX 104103 KachelY + 1 99187 1.84878241 -1.17742076 105.927429 -67.461240
    Unten rechts KachelX + 1 104104 KachelY + 1 99187 1.84883034 -1.17742076 105.930176 -67.461240
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17740238--1.17742076) × R
    1.83799999999845e-05 × 6371000     		dl = 117.098979999901m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17740238--1.17742076) × R
    1.83799999999845e-05 × 6371000     		dr = 117.098979999901m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.84878241-1.84883034) × cos(-1.17740238) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.383325311566686 × 6371000     		do = 117.052995289915m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.84878241-1.84883034) × cos(-1.17742076) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.383308335487718 × 6371000     		du = 117.04781143998m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17740238)-sin(-1.17742076))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.383325311566686-0.383308335487718)×R²
    abs(1.84883034-1.84878241)×1.69760789682227e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.69760789682227e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.69760789682227e-05×40589641000000     		ar = 13706.4828429679m²