Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1041 / 701
↖ ↑ ↗
← N 75.563041°
W 88.505859°		 ← 2 436.55 m → N 75.563041°
W 88.417969°		 →
↑
2 438.37 m
↓
↑
2 438.37 m
↓
N 75.541112°
W 88.505859°		 ← 2 440.17 m →
5 945 630 m²		 N 75.541112°
W 88.417969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1041 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 701 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.2542724609375 y=0.1712646484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.2542724609375 × 212)
    floor (0.2542724609375 × 4096)
    floor (1041.5)     		tx = 1041
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1712646484375 × 212)
    floor (0.1712646484375 × 4096)
    floor (701.5)     		ty = 701
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1041 / 701 ti = "12/1041/701"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1041/701.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1041 ÷ 212
    1041 ÷ 4096     		x = 0.254150390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 701 ÷ 212
    701 ÷ 4096     		y = 0.171142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.254150390625 × 2 - 1) × π
    -0.49169921875 × 3.1415926535     		Λ = -1.54471865
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.171142578125 × 2 - 1) × π
    0.65771484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.0662721212229
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.54471865} λ = -1.54471865}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.0662721212229))-π/2
    2×atan(7.89533533552464)-π/2
    2×1.4448100947864-π/2
    2.8896201895728-1.57079632675     		φ = 1.31882386
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.54471865} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -88.505859°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31882386 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.563041°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1041 KachelY 701 -1.54471865 1.31882386 -88.505859 75.563041
    Oben rechts KachelX + 1 1042 KachelY 701 -1.54318467 1.31882386 -88.417969 75.563041
    Unten links KachelX 1041 KachelY + 1 702 -1.54471865 1.31844113 -88.505859 75.541112
    Unten rechts KachelX + 1 1042 KachelY + 1 702 -1.54318467 1.31844113 -88.417969 75.541112
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31882386-1.31844113) × R
    0.000382729999999887 × 6371000     		dl = 2438.37282999928m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31882386-1.31844113) × R
    0.000382729999999887 × 6371000     		dr = 2438.37282999928m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.54471865--1.54318467) × cos(1.31882386) × R
    0.00153398000000005 × 0.24931462431636 × 6371000     		do = 2436.5484776416m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.54471865--1.54318467) × cos(1.31844113) × R
    0.00153398000000005 × 0.249685250406381 × 6371000     		du = 2440.17060144558m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31882386)-sin(1.31844113))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.24931462431636-0.249685250406381)×R²
    abs(-1.54318467--1.54471865)×0.000370626090020892×R²
    0.00153398000000005×0.000370626090020892×6371000²
    0.00153398000000005×0.000370626090020892×40589641000000     		ar = 5945629.72357293m²