Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1041 / 3185
↖ ↑ ↗
← S 70.170201°
W 88.505859°		 ← 3 315.26 m → S 70.170201°
W 88.417969°		 →
↑
3 312.86 m
↓
↑
3 312.86 m
↓
S 70.199994°
W 88.505859°		 ← 3 310.48 m →
10 975 071 m²		 S 70.199994°
W 88.417969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1041 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3185 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.2542724609375 y=0.7777099609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.2542724609375 × 212)
    floor (0.2542724609375 × 4096)
    floor (1041.5)     		tx = 1041
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7777099609375 × 212)
    floor (0.7777099609375 × 4096)
    floor (3185.5)     		ty = 3185
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1041 / 3185 ti = "12/1041/3185"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1041/3185.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1041 ÷ 212
    1041 ÷ 4096     		x = 0.254150390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3185 ÷ 212
    3185 ÷ 4096     		y = 0.777587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.254150390625 × 2 - 1) × π
    -0.49169921875 × 3.1415926535     		Λ = -1.54471865
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.777587890625 × 2 - 1) × π
    -0.55517578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.74413615577612
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.54471865} λ = -1.54471865}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74413615577612))-π/2
    2×atan(0.174795920212916)-π/2
    2×0.173047644032394-π/2
    0.346095288064789-1.57079632675     		φ = -1.22470104
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.54471865} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -88.505859°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22470104 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.170201°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1041 KachelY 3185 -1.54471865 -1.22470104 -88.505859 -70.170201
    Oben rechts KachelX + 1 1042 KachelY 3185 -1.54318467 -1.22470104 -88.417969 -70.170201
    Unten links KachelX 1041 KachelY + 1 3186 -1.54471865 -1.22522103 -88.505859 -70.199994
    Unten rechts KachelX + 1 1042 KachelY + 1 3186 -1.54318467 -1.22522103 -88.417969 -70.199994
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22470104--1.22522103) × R
    0.000519989999999915 × 6371000     		dl = 3312.85628999946m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22470104--1.22522103) × R
    0.000519989999999915 × 6371000     		dr = 3312.85628999946m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.54471865--1.54318467) × cos(-1.22470104) × R
    0.00153398000000005 × 0.339227221698606 × 6371000     		do = 3315.26308523126m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.54471865--1.54318467) × cos(-1.22522103) × R
    0.00153398000000005 × 0.3387380189437 × 6371000     		du = 3310.48211327267m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22470104)-sin(-1.22522103))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.339227221698606-0.3387380189437)×R²
    abs(-1.54318467--1.54471865)×0.000489202754905604×R²
    0.00153398000000005×0.000489202754905604×6371000²
    0.00153398000000005×0.000489202754905604×40589641000000     		ar = 10975071.0756946m²