Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1041 / 3114
↖ ↑ ↗
← N 39.571822°
W134.252929°		 ← 3 766.64 m → N 39.571822°
W134.208984°		 →
↑
3 767.55 m
↓
↑
3 767.55 m
↓
N 39.537940°
W134.252929°		 ← 3 768.48 m →
14 194 485 m²		 N 39.537940°
W134.208984°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1041 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3114 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.12713623046875 y=0.38018798828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.12713623046875 × 213)
    floor (0.12713623046875 × 8192)
    floor (1041.5)     		tx = 1041
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.38018798828125 × 213)
    floor (0.38018798828125 × 8192)
    floor (3114.5)     		ty = 3114
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1041 / 3114 ti = "13/1041/3114"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1041/3114.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1041 ÷ 213
    1041 ÷ 8192     		x = 0.1270751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3114 ÷ 213
    3114 ÷ 8192     		y = 0.380126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1270751953125 × 2 - 1) × π
    -0.745849609375 × 3.1415926535     		Λ = -2.34315565
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.380126953125 × 2 - 1) × π
    0.23974609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.753184566830322
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34315565} λ = -2.34315565}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.753184566830322))-π/2
    2×atan(2.12375249079135)-π/2
    2×1.13072745791693-π/2
    2.26145491583386-1.57079632675     		φ = 0.69065859
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34315565} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.252929°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69065859 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.571822°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1041 KachelY 3114 -2.34315565 0.69065859 -134.252929 39.571822
    Oben rechts KachelX + 1 1042 KachelY 3114 -2.34238866 0.69065859 -134.208984 39.571822
    Unten links KachelX 1041 KachelY + 1 3115 -2.34315565 0.69006723 -134.252929 39.537940
    Unten rechts KachelX + 1 1042 KachelY + 1 3115 -2.34238866 0.69006723 -134.208984 39.537940
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69065859-0.69006723) × R
    0.00059135999999993 × 6371000     		dl = 3767.55455999955m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69065859-0.69006723) × R
    0.00059135999999993 × 6371000     		dr = 3767.55455999955m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34315565--2.34238866) × cos(0.69065859) × R
    0.000766989999999801 × 0.770826630744151 × 6371000     		do = 3766.63915888362m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34315565--2.34238866) × cos(0.69006723) × R
    0.000766989999999801 × 0.771203218859411 × 6371000     		du = 3768.47935418194m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69065859)-sin(0.69006723))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.770826630744151-0.771203218859411)×R²
    abs(-2.34238866--2.34315565)×0.000376588115259868×R²
    0.000766989999999801×0.000376588115259868×6371000²
    0.000766989999999801×0.000376588115259868×40589641000000     		ar = 14194485.4706778m²