Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1041 / 3107
↖ ↑ ↗
← N 39.808536°
W134.252929°		 ← 3 753.75 m → N 39.808536°
W134.208984°		 →
↑
3 754.62 m
↓
↑
3 754.62 m
↓
N 39.774770°
W134.252929°		 ← 3 755.59 m →
14 097 356 m²		 N 39.774770°
W134.208984°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1041 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3107 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.12713623046875 y=0.37933349609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.12713623046875 × 213)
    floor (0.12713623046875 × 8192)
    floor (1041.5)     		tx = 1041
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.37933349609375 × 213)
    floor (0.37933349609375 × 8192)
    floor (3107.5)     		ty = 3107
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1041 / 3107 ti = "13/1041/3107"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1041/3107.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1041 ÷ 213
    1041 ÷ 8192     		x = 0.1270751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3107 ÷ 213
    3107 ÷ 8192     		y = 0.3792724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1270751953125 × 2 - 1) × π
    -0.745849609375 × 3.1415926535     		Λ = -2.34315565
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3792724609375 × 2 - 1) × π
    0.241455078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.758553499587769
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34315565} λ = -2.34315565}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.758553499587769))-π/2
    2×atan(2.13518543900967)-π/2
    2×1.13279317555015-π/2
    2.2655863511003-1.57079632675     		φ = 0.69479002
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34315565} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.252929°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69479002 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.808536°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1041 KachelY 3107 -2.34315565 0.69479002 -134.252929 39.808536
    Oben rechts KachelX + 1 1042 KachelY 3107 -2.34238866 0.69479002 -134.208984 39.808536
    Unten links KachelX 1041 KachelY + 1 3108 -2.34315565 0.69420069 -134.252929 39.774770
    Unten rechts KachelX + 1 1042 KachelY + 1 3108 -2.34238866 0.69420069 -134.208984 39.774770
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69479002-0.69420069) × R
    0.000589330000000055 × 6371000     		dl = 3754.62143000035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69479002-0.69420069) × R
    0.000589330000000055 × 6371000     		dr = 3754.62143000035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34315565--2.34238866) × cos(0.69479002) × R
    0.000766989999999801 × 0.768188152993315 × 6371000     		do = 3753.74625505835m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34315565--2.34238866) × cos(0.69420069) × R
    0.000766989999999801 × 0.768565322869847 × 6371000     		du = 3755.58929312921m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69479002)-sin(0.69420069))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.768188152993315-0.768565322869847)×R²
    abs(-2.34238866--2.34315565)×0.000377169876531802×R²
    0.000766989999999801×0.000377169876531802×6371000²
    0.000766989999999801×0.000377169876531802×40589641000000     		ar = 14097356.4951572m²