Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 104096 / 99297
↖ ↑ ↗
← S 67.576765°
E105.908203°		 ← 116.50 m → S 67.576765°
E105.910950°		 →
↑
116.46 m
↓
↑
116.46 m
↓
S 67.577813°
E105.908203°		 ← 116.50 m →
13 568 m²		 S 67.577813°
E105.910950°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104096 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99297 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.794193267822266 y=0.757579803466797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.794193267822266 × 217)
    floor (0.794193267822266 × 131072)
    floor (104096.5)     		tx = 104096
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757579803466797 × 217)
    floor (0.757579803466797 × 131072)
    floor (99297.5)     		ty = 99297
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104096 / 99297 ti = "17/104096/99297"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104096/99297.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104096 ÷ 217
    104096 ÷ 131072     		x = 0.794189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99297 ÷ 217
    99297 ÷ 131072     		y = 0.757575988769531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.794189453125 × 2 - 1) × π
    0.58837890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.84844685
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.757575988769531 × 2 - 1) × π
    -0.515151977539062 × 3.1415926535     		Φ = -1.61839766807272
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.84844685} λ = 1.84844685}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61839766807272))-π/2
    2×atan(0.198216052672519)-π/2
    2×0.195679638889181-π/2
    0.391359277778362-1.57079632675     		φ = -1.17943705
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.84844685} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.908203°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17943705 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.576765°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104096 KachelY 99297 1.84844685 -1.17943705 105.908203 -67.576765
    Oben rechts KachelX + 1 104097 KachelY 99297 1.84849479 -1.17943705 105.910950 -67.576765
    Unten links KachelX 104096 KachelY + 1 99298 1.84844685 -1.17945533 105.908203 -67.577813
    Unten rechts KachelX + 1 104097 KachelY + 1 99298 1.84849479 -1.17945533 105.910950 -67.577813
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17943705--1.17945533) × R
    1.82799999999261e-05 × 6371000     		dl = 116.461879999529m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17943705--1.17945533) × R
    1.82799999999261e-05 × 6371000     		dr = 116.461879999529m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.84844685-1.84849479) × cos(-1.17943705) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.381445270934118 × 6371000     		do = 116.503204144477m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.84844685-1.84849479) × cos(-1.17945533) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.381428372995152 × 6371000     		du = 116.498043078964m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17943705)-sin(-1.17945533))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.381445270934118-0.381428372995152)×R²
    abs(1.84849479-1.84844685)×1.68979389664203e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.68979389664203e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.68979389664203e-05×40589641000000     		ar = 13567.8816472224m²