Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 104094 / 99470
↖ ↑ ↗
← S 67.757319°
E105.902710°		 ← 115.59 m → S 67.757319°
E105.905456°		 →
↑
115.57 m
↓
↑
115.57 m
↓
S 67.758358°
E105.902710°		 ← 115.58 m →
13 358 m²		 S 67.758358°
E105.905456°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104094 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99470 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.794178009033203 y=0.758899688720703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.794178009033203 × 217)
    floor (0.794178009033203 × 131072)
    floor (104094.5)     		tx = 104094
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758899688720703 × 217)
    floor (0.758899688720703 × 131072)
    floor (99470.5)     		ty = 99470
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104094 / 99470 ti = "17/104094/99470"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104094/99470.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104094 ÷ 217
    104094 ÷ 131072     		x = 0.794174194335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99470 ÷ 217
    99470 ÷ 131072     		y = 0.758895874023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.794174194335938 × 2 - 1) × π
    0.588348388671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.84835098
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.758895874023438 × 2 - 1) × π
    -0.517791748046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.62669075170699
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.84835098} λ = 1.84835098}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62669075170699))-π/2
    2×atan(0.196579027744591)-π/2
    2×0.194104009887375-π/2
    0.38820801977475-1.57079632675     		φ = -1.18258831
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.84835098} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.902710°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18258831 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.757319°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104094 KachelY 99470 1.84835098 -1.18258831 105.902710 -67.757319
    Oben rechts KachelX + 1 104095 KachelY 99470 1.84839891 -1.18258831 105.905456 -67.757319
    Unten links KachelX 104094 KachelY + 1 99471 1.84835098 -1.18260645 105.902710 -67.758358
    Unten rechts KachelX + 1 104095 KachelY + 1 99471 1.84839891 -1.18260645 105.905456 -67.758358
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18258831--1.18260645) × R
    1.81399999998888e-05 × 6371000     		dl = 115.569939999292m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18258831--1.18260645) × R
    1.81399999998888e-05 × 6371000     		dr = 115.569939999292m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.84835098-1.84839891) × cos(-1.18258831) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.378530384077622 × 6371000     		do = 115.588806498693m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.84835098-1.84839891) × cos(-1.18260645) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.37851359383332 × 6371000     		du = 115.583679395609m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18258831)-sin(-1.18260645))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.378530384077622-0.37851359383332)×R²
    abs(1.84839891-1.84835098)×1.67902443025114e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.67902443025114e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.67902443025114e-05×40589641000000     		ar = 13358.2951625375m²