Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 104091 / 99481
↖ ↑ ↗
← S 67.768752°
E105.894470°		 ← 115.56 m → S 67.768752°
E105.897217°		 →
↑
115.57 m
↓
↑
115.57 m
↓
S 67.769792°
E105.894470°		 ← 115.55 m →
13 355 m²		 S 67.769792°
E105.897217°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104091 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99481 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.794155120849609 y=0.758983612060547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.794155120849609 × 217)
    floor (0.794155120849609 × 131072)
    floor (104091.5)     		tx = 104091
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758983612060547 × 217)
    floor (0.758983612060547 × 131072)
    floor (99481.5)     		ty = 99481
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104091 / 99481 ti = "17/104091/99481"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104091/99481.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104091 ÷ 217
    104091 ÷ 131072     		x = 0.794151306152344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99481 ÷ 217
    99481 ÷ 131072     		y = 0.758979797363281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.794151306152344 × 2 - 1) × π
    0.588302612304688 × 3.1415926535     		Λ = 1.84820716
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.758979797363281 × 2 - 1) × π
    -0.517959594726562 × 3.1415926535     		Φ = -1.62721805760281
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.84820716} λ = 1.84820716}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62721805760281))-π/2
    2×atan(0.196475397789011)-π/2
    2×0.194004233586488-π/2
    0.388008467172977-1.57079632675     		φ = -1.18278786
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.84820716} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.894470°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18278786 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.768752°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104091 KachelY 99481 1.84820716 -1.18278786 105.894470 -67.768752
    Oben rechts KachelX + 1 104092 KachelY 99481 1.84825510 -1.18278786 105.897217 -67.768752
    Unten links KachelX 104091 KachelY + 1 99482 1.84820716 -1.18280600 105.894470 -67.769792
    Unten rechts KachelX + 1 104092 KachelY + 1 99482 1.84825510 -1.18280600 105.897217 -67.769792
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18278786--1.18280600) × R
    1.81400000001108e-05 × 6371000     		dl = 115.569940000706m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18278786--1.18280600) × R
    1.81400000001108e-05 × 6371000     		dr = 115.569940000706m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.84820716-1.84825510) × cos(-1.18278786) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.378345675284117 × 6371000     		do = 115.556507849375m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.84820716-1.84825510) × cos(-1.18280600) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.378328883669961 × 6371000     		du = 115.551379258196m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18278786)-sin(-1.18280600))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.378345675284117-0.378328883669961)×R²
    abs(1.84825510-1.84820716)×1.67916141563529e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.67916141563529e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.67916141563529e-05×40589641000000     		ar = 13354.5623236896m²