Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10409 / 6295
↖ ↑ ↗
← N 80.963867°
W122.821655°		 ← 95.94 m → N 80.963867°
W122.816162°		 →
↑
95.95 m
↓
↑
95.95 m
↓
N 80.963004°
W122.821655°		 ← 95.95 m →
9 205 m²		 N 80.963004°
W122.816162°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10409 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6295 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158836364746094 y=0.0960617065429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158836364746094 × 216)
    floor (0.158836364746094 × 65536)
    floor (10409.5)     		tx = 10409
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0960617065429688 × 216)
    floor (0.0960617065429688 × 65536)
    floor (6295.5)     		ty = 6295
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10409 / 6295 ti = "16/10409/6295"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10409/6295.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10409 ÷ 216
    10409 ÷ 65536     		x = 0.158828735351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6295 ÷ 216
    6295 ÷ 65536     		y = 0.0960540771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.158828735351562 × 2 - 1) × π
    -0.682342529296875 × 3.1415926535     		Λ = -2.14364228
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0960540771484375 × 2 - 1) × π
    0.807891845703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.53806708728349
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14364228} λ = -2.14364228}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53806708728349))-π/2
    2×atan(12.6551859449055)-π/2
    2×1.49194118916995-π/2
    2.9838823783399-1.57079632675     		φ = 1.41308605
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14364228} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.821655°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41308605 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.963867°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10409 KachelY 6295 -2.14364228 1.41308605 -122.821655 80.963867
    Oben rechts KachelX + 1 10410 KachelY 6295 -2.14354640 1.41308605 -122.816162 80.963867
    Unten links KachelX 10409 KachelY + 1 6296 -2.14364228 1.41307099 -122.821655 80.963004
    Unten rechts KachelX + 1 10410 KachelY + 1 6296 -2.14354640 1.41307099 -122.816162 80.963004
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41308605-1.41307099) × R
    1.50599999999557e-05 × 6371000     		dl = 95.9472599997175m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41308605-1.41307099) × R
    1.50599999999557e-05 × 6371000     		dr = 95.9472599997175m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14364228--2.14354640) × cos(1.41308605) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.157057313730865 × 6371000     		do = 95.93869253726m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14364228--2.14354640) × cos(1.41307099) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.157072186810768 × 6371000     		du = 95.9477777801315m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41308605)-sin(1.41307099))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157057313730865-0.157072186810768)×R²
    abs(-2.14354640--2.14364228)×1.48730799039709e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.48730799039709e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.48730799039709e-05×40589641000000     		ar = 9205.49052906618m²