Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 104079 / 98919
↖ ↑ ↗
← S 67.177414°
E105.861511°		 ← 118.47 m → S 67.177414°
E105.864258°		 →
↑
118.44 m
↓
↑
118.44 m
↓
S 67.178479°
E105.861511°		 ← 118.46 m →
14 031 m²		 S 67.178479°
E105.864258°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104079 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98919 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.794063568115234 y=0.754695892333984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.794063568115234 × 217)
    floor (0.794063568115234 × 131072)
    floor (104079.5)     		tx = 104079
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.754695892333984 × 217)
    floor (0.754695892333984 × 131072)
    floor (98919.5)     		ty = 98919
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104079 / 98919 ti = "17/104079/98919"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104079/98919.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104079 ÷ 217
    104079 ÷ 131072     		x = 0.794059753417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98919 ÷ 217
    98919 ÷ 131072     		y = 0.754692077636719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.794059753417969 × 2 - 1) × π
    0.588119506835938 × 3.1415926535     		Λ = 1.84763192
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.754692077636719 × 2 - 1) × π
    -0.509384155273438 × 3.1415926535     		Φ = -1.60027752001633
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.84763192} λ = 1.84763192}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60027752001633))-π/2
    2×atan(0.201840495443733)-π/2
    2×0.199164639010722-π/2
    0.398329278021445-1.57079632675     		φ = -1.17246705
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.84763192} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.861511°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17246705 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.177414°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104079 KachelY 98919 1.84763192 -1.17246705 105.861511 -67.177414
    Oben rechts KachelX + 1 104080 KachelY 98919 1.84767986 -1.17246705 105.864258 -67.177414
    Unten links KachelX 104079 KachelY + 1 98920 1.84763192 -1.17248564 105.861511 -67.178479
    Unten rechts KachelX + 1 104080 KachelY + 1 98920 1.84767986 -1.17248564 105.864258 -67.178479
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17246705--1.17248564) × R
    1.85900000000405e-05 × 6371000     		dl = 118.436890000258m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17246705--1.17248564) × R
    1.85900000000405e-05 × 6371000     		dr = 118.436890000258m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.84763192-1.84767986) × cos(-1.17246705) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.387878961553847 × 6371000     		do = 118.468218862938m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.84763192-1.84767986) × cos(-1.17248564) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.387861826892005 × 6371000     		du = 118.462985496165m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17246705)-sin(-1.17248564))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.387878961553847-0.387861826892005)×R²
    abs(1.84767986-1.84763192)×1.71346618427215e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.71346618427215e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.71346618427215e-05×40589641000000     		ar = 14030.697494714m²