Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 104075 / 98907
↖ ↑ ↗
← S 67.164626°
E105.850525°		 ← 118.53 m → S 67.164626°
E105.853271°		 →
↑
118.56 m
↓
↑
118.56 m
↓
S 67.165692°
E105.850525°		 ← 118.53 m →
14 053 m²		 S 67.165692°
E105.853271°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104075 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98907 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.794033050537109 y=0.754604339599609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.794033050537109 × 217)
    floor (0.794033050537109 × 131072)
    floor (104075.5)     		tx = 104075
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.754604339599609 × 217)
    floor (0.754604339599609 × 131072)
    floor (98907.5)     		ty = 98907
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104075 / 98907 ti = "17/104075/98907"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104075/98907.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104075 ÷ 217
    104075 ÷ 131072     		x = 0.794029235839844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98907 ÷ 217
    98907 ÷ 131072     		y = 0.754600524902344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.794029235839844 × 2 - 1) × π
    0.588058471679688 × 3.1415926535     		Λ = 1.84744017
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.754600524902344 × 2 - 1) × π
    -0.509201049804688 × 3.1415926535     		Φ = -1.59970227722089
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.84744017} λ = 1.84744017}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59970227722089))-π/2
    2×atan(0.201956636135911)-π/2
    2×0.199276230879983-π/2
    0.398552461759966-1.57079632675     		φ = -1.17224386
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.84744017} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.850525°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17224386 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.164626°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104075 KachelY 98907 1.84744017 -1.17224386 105.850525 -67.164626
    Oben rechts KachelX + 1 104076 KachelY 98907 1.84748811 -1.17224386 105.853271 -67.164626
    Unten links KachelX 104075 KachelY + 1 98908 1.84744017 -1.17226247 105.850525 -67.165692
    Unten rechts KachelX + 1 104076 KachelY + 1 98908 1.84748811 -1.17226247 105.853271 -67.165692
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17224386--1.17226247) × R
    1.8609999999919e-05 × 6371000     		dl = 118.564309999484m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17224386--1.17226247) × R
    1.8609999999919e-05 × 6371000     		dr = 118.564309999484m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.84744017-1.84748811) × cos(-1.17224386) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.388084668417262 × 6371000     		do = 118.531047033919m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.84744017-1.84748811) × cos(-1.17226247) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.388067516932541 × 6371000     		du = 118.525808529006m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17224386)-sin(-1.17226247))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.388084668417262-0.388067516932541)×R²
    abs(1.84748811-1.84744017)×1.71514847207566e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.71514847207566e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.71514847207566e-05×40589641000000     		ar = 14053.2412555971m²