Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 104072 / 98904
↖ ↑ ↗
← S 67.161428°
E105.842285°		 ← 118.55 m → S 67.161428°
E105.845032°		 →
↑
118.56 m
↓
↑
118.56 m
↓
S 67.162494°
E105.842285°		 ← 118.54 m →
14 055 m²		 S 67.162494°
E105.845032°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104072 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98904 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.794010162353516 y=0.754581451416016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.794010162353516 × 217)
    floor (0.794010162353516 × 131072)
    floor (104072.5)     		tx = 104072
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.754581451416016 × 217)
    floor (0.754581451416016 × 131072)
    floor (98904.5)     		ty = 98904
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104072 / 98904 ti = "17/104072/98904"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104072/98904.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104072 ÷ 217
    104072 ÷ 131072     		x = 0.79400634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98904 ÷ 217
    98904 ÷ 131072     		y = 0.75457763671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.79400634765625 × 2 - 1) × π
    0.5880126953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.84729636
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75457763671875 × 2 - 1) × π
    -0.5091552734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.59955846652203
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.84729636} λ = 1.84729636}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59955846652203))-π/2
    2×atan(0.201985681749378)-π/2
    2×0.199304138092687-π/2
    0.398608276185374-1.57079632675     		φ = -1.17218805
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.84729636} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.842285°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17218805 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.161428°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104072 KachelY 98904 1.84729636 -1.17218805 105.842285 -67.161428
    Oben rechts KachelX + 1 104073 KachelY 98904 1.84734430 -1.17218805 105.845032 -67.161428
    Unten links KachelX 104072 KachelY + 1 98905 1.84729636 -1.17220666 105.842285 -67.162494
    Unten rechts KachelX + 1 104073 KachelY + 1 98905 1.84734430 -1.17220666 105.845032 -67.162494
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17218805--1.17220666) × R
    1.8610000000141e-05 × 6371000     		dl = 118.564310000898m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17218805--1.17220666) × R
    1.8610000000141e-05 × 6371000     		dr = 118.564310000898m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.84729636-1.84734430) × cos(-1.17218805) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.388136103632923 × 6371000     		do = 118.546756672724m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.84729636-1.84734430) × cos(-1.17220666) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.388118952551294 × 6371000     		du = 118.541518290926m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17218805)-sin(-1.17220666))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.388136103632923-0.388118952551294)×R²
    abs(1.84734430-1.84729636)×1.71510816290854e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.71510816290854e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.71510816290854e-05×40589641000000     		ar = 14055.1038655431m²