Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 104070 / 99554
↖ ↑ ↗
← S 67.844488°
E105.836792°		 ← 115.18 m → S 67.844488°
E105.839539°		 →
↑
115.19 m
↓
↑
115.19 m
↓
S 67.845524°
E105.836792°		 ← 115.18 m →
13 267 m²		 S 67.845524°
E105.839539°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104070 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99554 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.793994903564453 y=0.759540557861328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.793994903564453 × 217)
    floor (0.793994903564453 × 131072)
    floor (104070.5)     		tx = 104070
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759540557861328 × 217)
    floor (0.759540557861328 × 131072)
    floor (99554.5)     		ty = 99554
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104070 / 99554 ti = "17/104070/99554"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104070/99554.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104070 ÷ 217
    104070 ÷ 131072     		x = 0.793991088867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99554 ÷ 217
    99554 ÷ 131072     		y = 0.759536743164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.793991088867188 × 2 - 1) × π
    0.587982177734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.84720049
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.759536743164062 × 2 - 1) × π
    -0.519073486328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.63071745127507
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.84720049} λ = 1.84720049}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63071745127507))-π/2
    2×atan(0.195789054618106)-π/2
    2×0.193343314571325-π/2
    0.386686629142649-1.57079632675     		φ = -1.18410970
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.84720049} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.836792°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18410970 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.844488°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104070 KachelY 99554 1.84720049 -1.18410970 105.836792 -67.844488
    Oben rechts KachelX + 1 104071 KachelY 99554 1.84724843 -1.18410970 105.839539 -67.844488
    Unten links KachelX 104070 KachelY + 1 99555 1.84720049 -1.18412778 105.836792 -67.845524
    Unten rechts KachelX + 1 104071 KachelY + 1 99555 1.84724843 -1.18412778 105.839539 -67.845524
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18410970--1.18412778) × R
    1.80800000000314e-05 × 6371000     		dl = 115.1876800002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18410970--1.18412778) × R
    1.80800000000314e-05 × 6371000     		dr = 115.1876800002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.84720049-1.84724843) × cos(-1.18410970) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.377121764898113 × 6371000     		do = 115.182694114037m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.84720049-1.84724843) × cos(-1.18412778) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.377105019797021 × 6371000     		du = 115.177579729144m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18410970)-sin(-1.18412778))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.377121764898113-0.377105019797021)×R²
    abs(1.84724843-1.84720049)×1.67451010914532e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.67451010914532e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.67451010914532e-05×40589641000000     		ar = 13267.3327544204m²