Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 104068 / 98921
↖ ↑ ↗
← S 67.179544°
E105.831299°		 ← 118.43 m → S 67.179544°
E105.834045°		 →
↑
118.50 m
↓
↑
118.50 m
↓
S 67.180610°
E105.831299°		 ← 118.43 m →
14 034 m²		 S 67.180610°
E105.834045°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104068 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98921 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.793979644775391 y=0.754711151123047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.793979644775391 × 217)
    floor (0.793979644775391 × 131072)
    floor (104068.5)     		tx = 104068
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.754711151123047 × 217)
    floor (0.754711151123047 × 131072)
    floor (98921.5)     		ty = 98921
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104068 / 98921 ti = "17/104068/98921"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104068/98921.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104068 ÷ 217
    104068 ÷ 131072     		x = 0.793975830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98921 ÷ 217
    98921 ÷ 131072     		y = 0.754707336425781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.793975830078125 × 2 - 1) × π
    0.58795166015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.84710462
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.754707336425781 × 2 - 1) × π
    -0.509414672851562 × 3.1415926535     		Φ = -1.60037339381557
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.84710462} λ = 1.84710462}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60037339381557))-π/2
    2×atan(0.201821145156202)-π/2
    2×0.199146046117347-π/2
    0.398292092234694-1.57079632675     		φ = -1.17250423
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.84710462} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.831299°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17250423 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.179544°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104068 KachelY 98921 1.84710462 -1.17250423 105.831299 -67.179544
    Oben rechts KachelX + 1 104069 KachelY 98921 1.84715255 -1.17250423 105.834045 -67.179544
    Unten links KachelX 104068 KachelY + 1 98922 1.84710462 -1.17252283 105.831299 -67.180610
    Unten rechts KachelX + 1 104069 KachelY + 1 98922 1.84715255 -1.17252283 105.834045 -67.180610
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17250423--1.17252283) × R
    1.85999999999797e-05 × 6371000     		dl = 118.500599999871m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17250423--1.17252283) × R
    1.85999999999797e-05 × 6371000     		dr = 118.500599999871m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.84710462-1.84715255) × cos(-1.17250423) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.387844692096122 × 6371000     		do = 118.433042502721m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.84710462-1.84715255) × cos(-1.17252283) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.387827547948885 × 6371000     		du = 118.427807331118m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17250423)-sin(-1.17252283))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.387844692096122-0.387827547948885)×R²
    abs(1.84715255-1.84710462)×1.71441472370804e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.71441472370804e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.71441472370804e-05×40589641000000     		ar = 14034.0764113749m²