Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 104067 / 99149
↖ ↑ ↗
← S 67.421200°
E105.828552°		 ← 117.27 m → S 67.421200°
E105.831299°		 →
↑
117.29 m
↓
↑
117.29 m
↓
S 67.422255°
E105.828552°		 ← 117.26 m →
13 754 m²		 S 67.422255°
E105.831299°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104067 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99149 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.793972015380859 y=0.756450653076172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.793972015380859 × 217)
    floor (0.793972015380859 × 131072)
    floor (104067.5)     		tx = 104067
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756450653076172 × 217)
    floor (0.756450653076172 × 131072)
    floor (99149.5)     		ty = 99149
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104067 / 99149 ti = "17/104067/99149"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104067/99149.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104067 ÷ 217
    104067 ÷ 131072     		x = 0.793968200683594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99149 ÷ 217
    99149 ÷ 131072     		y = 0.756446838378906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.793968200683594 × 2 - 1) × π
    0.587936401367188 × 3.1415926535     		Λ = 1.84705668
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.756446838378906 × 2 - 1) × π
    -0.512893676757812 × 3.1415926535     		Φ = -1.61130300692895
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.84705668} λ = 1.84705668}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61130300692895))-π/2
    2×atan(0.199627328742616)-π/2
    2×0.197037196434708-π/2
    0.394074392869417-1.57079632675     		φ = -1.17672193
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.84705668} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.828552°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17672193 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.421200°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104067 KachelY 99149 1.84705668 -1.17672193 105.828552 -67.421200
    Oben rechts KachelX + 1 104068 KachelY 99149 1.84710462 -1.17672193 105.831299 -67.421200
    Unten links KachelX 104067 KachelY + 1 99150 1.84705668 -1.17674034 105.828552 -67.422255
    Unten rechts KachelX + 1 104068 KachelY + 1 99150 1.84710462 -1.17674034 105.831299 -67.422255
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17672193--1.17674034) × R
    1.84100000000242e-05 × 6371000     		dl = 117.290110000154m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17672193--1.17674034) × R
    1.84100000000242e-05 × 6371000     		dr = 117.290110000154m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.84705668-1.84710462) × cos(-1.17672193) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.38395369551144 × 6371000     		do = 117.269341577782m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.84705668-1.84710462) × cos(-1.17674034) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.383936696529636 × 6371000     		du = 117.264149651186m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17672193)-sin(-1.17674034))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.38395369551144-0.383936696529636)×R²
    abs(1.84710462-1.84705668)×1.69989818035177e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.69989818035177e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.69989818035177e-05×40589641000000     		ar = 13754.2294927989m²