Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 104066 / 99158
↖ ↑ ↗
← S 67.430690°
E105.825806°		 ← 117.22 m → S 67.430690°
E105.828552°		 →
↑
117.23 m
↓
↑
117.23 m
↓
S 67.431744°
E105.825806°		 ← 117.22 m →
13 741 m²		 S 67.431744°
E105.828552°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104066 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99158 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.793964385986328 y=0.756519317626953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.793964385986328 × 217)
    floor (0.793964385986328 × 131072)
    floor (104066.5)     		tx = 104066
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756519317626953 × 217)
    floor (0.756519317626953 × 131072)
    floor (99158.5)     		ty = 99158
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104066 / 99158 ti = "17/104066/99158"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104066/99158.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104066 ÷ 217
    104066 ÷ 131072     		x = 0.793960571289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99158 ÷ 217
    99158 ÷ 131072     		y = 0.756515502929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.793960571289062 × 2 - 1) × π
    0.587921142578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.84700874
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.756515502929688 × 2 - 1) × π
    -0.513031005859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.61173443902553
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.84700874} λ = 1.84700874}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61173443902553))-π/2
    2×atan(0.199541221681653)-π/2
    2×0.196954387956994-π/2
    0.393908775913987-1.57079632675     		φ = -1.17688755
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.84700874} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.825806°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17688755 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.430690°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104066 KachelY 99158 1.84700874 -1.17688755 105.825806 -67.430690
    Oben rechts KachelX + 1 104067 KachelY 99158 1.84705668 -1.17688755 105.828552 -67.430690
    Unten links KachelX 104066 KachelY + 1 99159 1.84700874 -1.17690595 105.825806 -67.431744
    Unten rechts KachelX + 1 104067 KachelY + 1 99159 1.84705668 -1.17690595 105.828552 -67.431744
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17688755--1.17690595) × R
    1.8400000000085e-05 × 6371000     		dl = 117.226400000542m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17688755--1.17690595) × R
    1.8400000000085e-05 × 6371000     		dr = 117.226400000542m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.84700874-1.84705668) × cos(-1.17688755) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.383800764630239 × 6371000     		do = 117.22263254968m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.84700874-1.84705668) × cos(-1.17690595) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.383783773712225 × 6371000     		du = 117.217443085972m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17688755)-sin(-1.17690595))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.383800764630239-0.383783773712225)×R²
    abs(1.84705668-1.84700874)×1.69909180140482e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.69909180140482e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.69909180140482e-05×40589641000000     		ar = 13741.2830417396m²