Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 104066 / 98918
↖ ↑ ↗
← S 67.176348°
E105.825806°		 ← 118.47 m → S 67.176348°
E105.828552°		 →
↑
118.50 m
↓
↑
118.50 m
↓
S 67.177414°
E105.825806°		 ← 118.47 m →
14 039 m²		 S 67.177414°
E105.828552°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104066 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98918 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.793964385986328 y=0.754688262939453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.793964385986328 × 217)
    floor (0.793964385986328 × 131072)
    floor (104066.5)     		tx = 104066
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.754688262939453 × 217)
    floor (0.754688262939453 × 131072)
    floor (98918.5)     		ty = 98918
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104066 / 98918 ti = "17/104066/98918"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104066/98918.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104066 ÷ 217
    104066 ÷ 131072     		x = 0.793960571289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98918 ÷ 217
    98918 ÷ 131072     		y = 0.754684448242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.793960571289062 × 2 - 1) × π
    0.587921142578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.84700874
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.754684448242188 × 2 - 1) × π
    -0.509368896484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.60022958311671
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.84700874} λ = 1.84700874}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60022958311671))-π/2
    2×atan(0.201850171283215)-π/2
    2×0.19917393607356-π/2
    0.39834787214712-1.57079632675     		φ = -1.17244845
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.84700874} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.825806°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17244845 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.176348°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104066 KachelY 98918 1.84700874 -1.17244845 105.825806 -67.176348
    Oben rechts KachelX + 1 104067 KachelY 98918 1.84705668 -1.17244845 105.828552 -67.176348
    Unten links KachelX 104066 KachelY + 1 98919 1.84700874 -1.17246705 105.825806 -67.177414
    Unten rechts KachelX + 1 104067 KachelY + 1 98919 1.84705668 -1.17246705 105.828552 -67.177414
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17244845--1.17246705) × R
    1.85999999999797e-05 × 6371000     		dl = 118.500599999871m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17244845--1.17246705) × R
    1.85999999999797e-05 × 6371000     		dr = 118.500599999871m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.84700874-1.84705668) × cos(-1.17244845) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.387896105298675 × 6371000     		do = 118.473455003888m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.84700874-1.84705668) × cos(-1.17246705) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.387878961553847 × 6371000     		du = 118.468218862938m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17244845)-sin(-1.17246705))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.387896105298675-0.387878961553847)×R²
    abs(1.84705668-1.84700874)×1.71437448273082e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.71437448273082e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.71437448273082e-05×40589641000000     		ar = 14038.8652594991m²