Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 104064 / 99713
↖ ↑ ↗
← S 68.008599°
E105.820313°		 ← 114.37 m → S 68.008599°
E105.823059°		 →
↑
114.36 m
↓
↑
114.36 m
↓
S 68.009628°
E105.820313°		 ← 114.37 m →
13 079 m²		 S 68.009628°
E105.823059°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104064 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99713 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.793949127197266 y=0.760753631591797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.793949127197266 × 217)
    floor (0.793949127197266 × 131072)
    floor (104064.5)     		tx = 104064
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760753631591797 × 217)
    floor (0.760753631591797 × 131072)
    floor (99713.5)     		ty = 99713
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104064 / 99713 ti = "17/104064/99713"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104064/99713.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104064 ÷ 217
    104064 ÷ 131072     		x = 0.7939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99713 ÷ 217
    99713 ÷ 131072     		y = 0.760749816894531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7939453125 × 2 - 1) × π
    0.587890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.84691287
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.760749816894531 × 2 - 1) × π
    -0.521499633789062 × 3.1415926535     		Φ = -1.63833941831466
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.84691287} λ = 1.84691287}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63833941831466))-π/2
    2×atan(0.194302429597588)-π/2
    2×0.191911172528655-π/2
    0.38382234505731-1.57079632675     		φ = -1.18697398
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.84691287} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.820313°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18697398 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.008599°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104064 KachelY 99713 1.84691287 -1.18697398 105.820313 -68.008599
    Oben rechts KachelX + 1 104065 KachelY 99713 1.84696081 -1.18697398 105.823059 -68.008599
    Unten links KachelX 104064 KachelY + 1 99714 1.84691287 -1.18699193 105.820313 -68.009628
    Unten rechts KachelX + 1 104065 KachelY + 1 99714 1.84696081 -1.18699193 105.823059 -68.009628
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18697398--1.18699193) × R
    1.79499999999333e-05 × 6371000     		dl = 114.359449999575m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18697398--1.18699193) × R
    1.79499999999333e-05 × 6371000     		dr = 114.359449999575m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.84691287-1.84696081) × cos(-1.18697398) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.374467429429791 × 6371000     		do = 114.371991739417m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.84691287-1.84696081) × cos(-1.18699193) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.374450785410238 × 6371000     		du = 114.366908227428m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18697398)-sin(-1.18699193))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.374467429429791-0.374450785410238)×R²
    abs(1.84696081-1.84691287)×1.66440195525364e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.66440195525364e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.66440195525364e-05×40589641000000     		ar = 13079.22739724m²