Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 104064 / 99712
↖ ↑ ↗
← S 68.007571°
E105.820313°		 ← 114.38 m → S 68.007571°
E105.823059°		 →
↑
114.36 m
↓
↑
114.36 m
↓
S 68.008599°
E105.820313°		 ← 114.37 m →
13 080 m²		 S 68.008599°
E105.823059°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104064 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99712 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.793949127197266 y=0.760746002197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.793949127197266 × 217)
    floor (0.793949127197266 × 131072)
    floor (104064.5)     		tx = 104064
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760746002197266 × 217)
    floor (0.760746002197266 × 131072)
    floor (99712.5)     		ty = 99712
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104064 / 99712 ti = "17/104064/99712"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104064/99712.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104064 ÷ 217
    104064 ÷ 131072     		x = 0.7939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99712 ÷ 217
    99712 ÷ 131072     		y = 0.7607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7939453125 × 2 - 1) × π
    0.587890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.84691287
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7607421875 × 2 - 1) × π
    -0.521484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.63829148141504
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.84691287} λ = 1.84691287}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63829148141504))-π/2
    2×atan(0.194311744076903)-π/2
    2×0.191920148131881-π/2
    0.383840296263761-1.57079632675     		φ = -1.18695603
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.84691287} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.820313°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18695603 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.007571°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104064 KachelY 99712 1.84691287 -1.18695603 105.820313 -68.007571
    Oben rechts KachelX + 1 104065 KachelY 99712 1.84696081 -1.18695603 105.823059 -68.007571
    Unten links KachelX 104064 KachelY + 1 99713 1.84691287 -1.18697398 105.820313 -68.008599
    Unten rechts KachelX + 1 104065 KachelY + 1 99713 1.84696081 -1.18697398 105.823059 -68.008599
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18695603--1.18697398) × R
    1.79500000001553e-05 × 6371000     		dl = 114.35945000099m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18695603--1.18697398) × R
    1.79500000001553e-05 × 6371000     		dr = 114.35945000099m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.84691287-1.84696081) × cos(-1.18695603) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.374484073328689 × 6371000     		do = 114.377075214554m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.84691287-1.84696081) × cos(-1.18697398) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.374467429429791 × 6371000     		du = 114.371991739417m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18695603)-sin(-1.18697398))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.374484073328689-0.374467429429791)×R²
    abs(1.84696081-1.84691287)×1.66438988984385e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.66438988984385e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.66438988984385e-05×40589641000000     		ar = 13079.8087428855m²