Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 104060 / 98955
↖ ↑ ↗
← S 67.215735°
E105.809326°		 ← 118.28 m → S 67.215735°
E105.812073°		 →
↑
118.25 m
↓
↑
118.25 m
↓
S 67.216799°
E105.809326°		 ← 118.27 m →
13 986 m²		 S 67.216799°
E105.812073°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104060 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98955 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.793918609619141 y=0.754970550537109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.793918609619141 × 217)
    floor (0.793918609619141 × 131072)
    floor (104060.5)     		tx = 104060
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.754970550537109 × 217)
    floor (0.754970550537109 × 131072)
    floor (98955.5)     		ty = 98955
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104060 / 98955 ti = "17/104060/98955"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104060/98955.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104060 ÷ 217
    104060 ÷ 131072     		x = 0.793914794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98955 ÷ 217
    98955 ÷ 131072     		y = 0.754966735839844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.793914794921875 × 2 - 1) × π
    0.58782958984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.84672112
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.754966735839844 × 2 - 1) × π
    -0.509933471679688 × 3.1415926535     		Φ = -1.60200324840266
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.84672112} λ = 1.84672112}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60200324840266))-π/2
    2×atan(0.201492473952891)-π/2
    2×0.198830218206502-π/2
    0.397660436413004-1.57079632675     		φ = -1.17313589
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.84672112} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.809326°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17313589 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.215735°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104060 KachelY 98955 1.84672112 -1.17313589 105.809326 -67.215735
    Oben rechts KachelX + 1 104061 KachelY 98955 1.84676906 -1.17313589 105.812073 -67.215735
    Unten links KachelX 104060 KachelY + 1 98956 1.84672112 -1.17315445 105.809326 -67.216799
    Unten rechts KachelX + 1 104061 KachelY + 1 98956 1.84676906 -1.17315445 105.812073 -67.216799
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17313589--1.17315445) × R
    1.85600000000008e-05 × 6371000     		dl = 118.245760000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17313589--1.17315445) × R
    1.85600000000008e-05 × 6371000     		dr = 118.245760000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.84672112-1.84676906) × cos(-1.17313589) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.387262398112171 × 6371000     		do = 118.279904517507m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.84672112-1.84676906) × cos(-1.17315445) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.387245286290785 × 6371000     		du = 118.274678126797m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17313589)-sin(-1.17315445))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.387262398112171-0.387245286290785)×R²
    abs(1.84676906-1.84672112)×1.71118213855848e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.71118213855848e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.71118213855848e-05×40589641000000     		ar = 13985.7882035013m²