Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10403 / 2077
↖ ↑ ↗
← N 79.050965°
E 48.581543°		 ← 464.07 m → N 79.050965°
E 48.603516°		 →
↑
464.13 m
↓
↑
464.13 m
↓
N 79.046791°
E 48.581543°		 ← 464.24 m →
215 426 m²		 N 79.046791°
E 48.603516°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10403 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2077 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.634979248046875 y=0.126800537109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.634979248046875 × 214)
    floor (0.634979248046875 × 16384)
    floor (10403.5)     		tx = 10403
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126800537109375 × 214)
    floor (0.126800537109375 × 16384)
    floor (2077.5)     		ty = 2077
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10403 / 2077 ti = "14/10403/2077"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10403/2077.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10403 ÷ 214
    10403 ÷ 16384     		x = 0.63494873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2077 ÷ 214
    2077 ÷ 16384     		y = 0.12677001953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63494873046875 × 2 - 1) × π
    0.2698974609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.84790788
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12677001953125 × 2 - 1) × π
    0.7464599609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.34507312941315
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.84790788} λ = 0.84790788}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34507312941315))-π/2
    2×atan(10.4340357345595)-π/2
    2×1.47524796864591-π/2
    2.95049593729182-1.57079632675     		φ = 1.37969961
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.84790788} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 48.581543°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37969961 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.050965°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10403 KachelY 2077 0.84790788 1.37969961 48.581543 79.050965
    Oben rechts KachelX + 1 10404 KachelY 2077 0.84829138 1.37969961 48.603516 79.050965
    Unten links KachelX 10403 KachelY + 1 2078 0.84790788 1.37962676 48.581543 79.046791
    Unten rechts KachelX + 1 10404 KachelY + 1 2078 0.84829138 1.37962676 48.603516 79.046791
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37969961-1.37962676) × R
    7.28500000000132e-05 × 6371000     		dl = 464.127350000084m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37969961-1.37962676) × R
    7.28500000000132e-05 × 6371000     		dr = 464.127350000084m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.84790788-0.84829138) × cos(1.37969961) × R
    0.000383500000000092 × 0.189935761719348 × 6371000     		do = 464.065962990116m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.84790788-0.84829138) × cos(1.37962676) × R
    0.000383500000000092 × 0.19000728509175 × 6371000     		du = 464.240714508155m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37969961)-sin(1.37962676))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.189935761719348-0.19000728509175)×R²
    abs(0.84829138-0.84790788)×7.15233724027653e-05×R²
    0.000383500000000092×7.15233724027653e-05×6371000²
    0.000383500000000092×7.15233724027653e-05×40589641000000     		ar = 215426.259203465m²