Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 104025 / 99161
↖ ↑ ↗
← S 67.433852°
E105.713196°		 ← 117.21 m → S 67.433852°
E105.715943°		 →
↑
117.23 m
↓
↑
117.23 m
↓
S 67.434906°
E105.713196°		 ← 117.20 m →
13 739 m²		 S 67.434906°
E105.715943°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104025 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99161 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.793651580810547 y=0.756542205810547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.793651580810547 × 217)
    floor (0.793651580810547 × 131072)
    floor (104025.5)     		tx = 104025
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756542205810547 × 217)
    floor (0.756542205810547 × 131072)
    floor (99161.5)     		ty = 99161
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104025 / 99161 ti = "17/104025/99161"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104025/99161.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104025 ÷ 217
    104025 ÷ 131072     		x = 0.793647766113281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99161 ÷ 217
    99161 ÷ 131072     		y = 0.756538391113281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.793647766113281 × 2 - 1) × π
    0.587295532226562 × 3.1415926535     		Λ = 1.84504333
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.756538391113281 × 2 - 1) × π
    -0.513076782226562 × 3.1415926535     		Φ = -1.61187824972439
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.84504333} λ = 1.84504333}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61187824972439))-π/2
    2×atan(0.19951252758242)-π/2
    2×0.196926792461315-π/2
    0.39385358492263-1.57079632675     		φ = -1.17694274
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.84504333} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.713196°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17694274 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.433852°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104025 KachelY 99161 1.84504333 -1.17694274 105.713196 -67.433852
    Oben rechts KachelX + 1 104026 KachelY 99161 1.84509127 -1.17694274 105.715943 -67.433852
    Unten links KachelX 104025 KachelY + 1 99162 1.84504333 -1.17696114 105.713196 -67.434906
    Unten rechts KachelX + 1 104026 KachelY + 1 99162 1.84509127 -1.17696114 105.715943 -67.434906
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17694274--1.17696114) × R
    1.8399999999863e-05 × 6371000     		dl = 117.226399999127m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17694274--1.17696114) × R
    1.8399999999863e-05 × 6371000     		dr = 117.226399999127m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.84504333-1.84509127) × cos(-1.17694274) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.383749800720772 × 6371000     		do = 117.207066859917m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.84504333-1.84509127) × cos(-1.17696114) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.383732809413044 × 6371000     		du = 117.201877277181m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17694274)-sin(-1.17696114))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.383749800720772-0.383732809413044)×R²
    abs(1.84509127-1.84504333)×1.69913077274764e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.69913077274764e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.69913077274764e-05×40589641000000     		ar = 13739.4583247082m²