Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 104023 / 99160
↖ ↑ ↗
← S 67.432798°
E105.707703°		 ← 117.19 m → S 67.432798°
E105.710449°		 →
↑
117.16 m
↓
↑
117.16 m
↓
S 67.433852°
E105.707703°		 ← 117.18 m →
13 730 m²		 S 67.433852°
E105.710449°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104023 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99160 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.793636322021484 y=0.756534576416016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.793636322021484 × 217)
    floor (0.793636322021484 × 131072)
    floor (104023.5)     		tx = 104023
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756534576416016 × 217)
    floor (0.756534576416016 × 131072)
    floor (99160.5)     		ty = 99160
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104023 / 99160 ti = "17/104023/99160"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104023/99160.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104023 ÷ 217
    104023 ÷ 131072     		x = 0.793632507324219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99160 ÷ 217
    99160 ÷ 131072     		y = 0.75653076171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.793632507324219 × 2 - 1) × π
    0.587265014648438 × 3.1415926535     		Λ = 1.84494746
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75653076171875 × 2 - 1) × π
    -0.5130615234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.61183031282477
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.84494746} λ = 1.84494746}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61183031282477))-π/2
    2×atan(0.199522091823666)-π/2
    2×0.196935990552694-π/2
    0.393871981105389-1.57079632675     		φ = -1.17692435
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.84494746} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.707703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17692435 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.432798°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104023 KachelY 99160 1.84494746 -1.17692435 105.707703 -67.432798
    Oben rechts KachelX + 1 104024 KachelY 99160 1.84499539 -1.17692435 105.710449 -67.432798
    Unten links KachelX 104023 KachelY + 1 99161 1.84494746 -1.17694274 105.707703 -67.433852
    Unten rechts KachelX + 1 104024 KachelY + 1 99161 1.84499539 -1.17694274 105.710449 -67.433852
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17692435--1.17694274) × R
    1.83900000001458e-05 × 6371000     		dl = 117.162690000929m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17692435--1.17694274) × R
    1.83900000001458e-05 × 6371000     		dr = 117.162690000929m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.84494746-1.84499539) × cos(-1.17692435) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.383766782664277 × 6371000     		do = 117.187803801004m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.84494746-1.84499539) × cos(-1.17694274) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.383749800720772 × 6371000     		du = 117.182618160262m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17692435)-sin(-1.17694274))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.383766782664277-0.383749800720772)×R²
    abs(1.84499539-1.84494746)×1.69819435049678e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.69819435049678e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.69819435049678e-05×40589641000000     		ar = 13729.7345472726m²