Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 104017 / 99091
↖ ↑ ↗
← S 67.359957°
E105.691223°		 ← 117.57 m → S 67.359957°
E105.693970°		 →
↑
117.54 m
↓
↑
117.54 m
↓
S 67.361014°
E105.691223°		 ← 117.57 m →
13 820 m²		 S 67.361014°
E105.693970°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104017 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99091 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.793590545654297 y=0.756008148193359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.793590545654297 × 217)
    floor (0.793590545654297 × 131072)
    floor (104017.5)     		tx = 104017
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756008148193359 × 217)
    floor (0.756008148193359 × 131072)
    floor (99091.5)     		ty = 99091
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104017 / 99091 ti = "17/104017/99091"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104017/99091.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104017 ÷ 217
    104017 ÷ 131072     		x = 0.793586730957031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99091 ÷ 217
    99091 ÷ 131072     		y = 0.756004333496094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.793586730957031 × 2 - 1) × π
    0.587173461914062 × 3.1415926535     		Λ = 1.84465983
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.756004333496094 × 2 - 1) × π
    -0.512008666992188 × 3.1415926535     		Φ = -1.60852266675098
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.84465983} λ = 1.84465983}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60852266675098))-π/2
    2×atan(0.200183132929651)-π/2
    2×0.197571643002221-π/2
    0.395143286004442-1.57079632675     		φ = -1.17565304
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.84465983} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.691223°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17565304 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.359957°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104017 KachelY 99091 1.84465983 -1.17565304 105.691223 -67.359957
    Oben rechts KachelX + 1 104018 KachelY 99091 1.84470777 -1.17565304 105.693970 -67.359957
    Unten links KachelX 104017 KachelY + 1 99092 1.84465983 -1.17567149 105.691223 -67.361014
    Unten rechts KachelX + 1 104018 KachelY + 1 99092 1.84470777 -1.17567149 105.693970 -67.361014
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17565304--1.17567149) × R
    1.84500000000032e-05 × 6371000     		dl = 117.54495000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17565304--1.17567149) × R
    1.84500000000032e-05 × 6371000     		dr = 117.54495000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.84465983-1.84470777) × cos(-1.17565304) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.384940438076932 × 6371000     		do = 117.570718156039m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.84465983-1.84470777) × cos(-1.17567149) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.384923409742273 × 6371000     		du = 117.565517264324m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17565304)-sin(-1.17567149))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.384940438076932-0.384923409742273)×R²
    abs(1.84470777-1.84465983)×1.70283346592193e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.70283346592193e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.70283346592193e-05×40589641000000     		ar = 13819.5385182399m²