Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 104015 / 99152
↖ ↑ ↗
← S 67.424364°
E105.685730°		 ← 117.25 m → S 67.424364°
E105.688477°		 →
↑
117.23 m
↓
↑
117.23 m
↓
S 67.425418°
E105.685730°		 ← 117.25 m →
13 745 m²		 S 67.425418°
E105.688477°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104015 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99152 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.793575286865234 y=0.756473541259766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.793575286865234 × 217)
    floor (0.793575286865234 × 131072)
    floor (104015.5)     		tx = 104015
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756473541259766 × 217)
    floor (0.756473541259766 × 131072)
    floor (99152.5)     		ty = 99152
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104015 / 99152 ti = "17/104015/99152"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104015/99152.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104015 ÷ 217
    104015 ÷ 131072     		x = 0.793571472167969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99152 ÷ 217
    99152 ÷ 131072     		y = 0.7564697265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.793571472167969 × 2 - 1) × π
    0.587142944335938 × 3.1415926535     		Λ = 1.84456396
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7564697265625 × 2 - 1) × π
    -0.512939453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.61144681762781
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.84456396} λ = 1.84456396}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61144681762781))-π/2
    2×atan(0.199598622261157)-π/2
    2×0.197009589943288-π/2
    0.394019179886575-1.57079632675     		φ = -1.17677715
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.84456396} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.685730°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17677715 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.424364°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104015 KachelY 99152 1.84456396 -1.17677715 105.685730 -67.424364
    Oben rechts KachelX + 1 104016 KachelY 99152 1.84461190 -1.17677715 105.688477 -67.424364
    Unten links KachelX 104015 KachelY + 1 99153 1.84456396 -1.17679555 105.685730 -67.425418
    Unten rechts KachelX + 1 104016 KachelY + 1 99153 1.84461190 -1.17679555 105.688477 -67.425418
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17677715--1.17679555) × R
    1.8400000000085e-05 × 6371000     		dl = 117.226400000542m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17677715--1.17679555) × R
    1.8400000000085e-05 × 6371000     		dr = 117.226400000542m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.84456396-1.84461190) × cos(-1.17677715) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.38390270740939 × 6371000     		do = 117.253768498983m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.84456396-1.84461190) × cos(-1.17679555) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.3838857172711 × 6371000     		du = 117.248579273423m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17677715)-sin(-1.17679555))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.38390270740939-0.3838857172711)×R²
    abs(1.84461190-1.84456396)×1.69901382903181e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.69901382903181e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.69901382903181e-05×40589641000000     		ar = 13744.9330107681m²