Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 104012 / 99116
↖ ↑ ↗
← S 67.386375°
E105.677490°		 ← 117.44 m → S 67.386375°
E105.680237°		 →
↑
117.42 m
↓
↑
117.42 m
↓
S 67.387431°
E105.677490°		 ← 117.44 m →
13 789 m²		 S 67.387431°
E105.680237°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104012 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99116 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.793552398681641 y=0.756198883056641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.793552398681641 × 217)
    floor (0.793552398681641 × 131072)
    floor (104012.5)     		tx = 104012
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756198883056641 × 217)
    floor (0.756198883056641 × 131072)
    floor (99116.5)     		ty = 99116
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104012 / 99116 ti = "17/104012/99116"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104012/99116.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104012 ÷ 217
    104012 ÷ 131072     		x = 0.793548583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99116 ÷ 217
    99116 ÷ 131072     		y = 0.756195068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.793548583984375 × 2 - 1) × π
    0.58709716796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.84442015
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.756195068359375 × 2 - 1) × π
    -0.51239013671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.60972108924149
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.84442015} λ = 1.84442015}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60972108924149))-π/2
    2×atan(0.199943372656676)-π/2
    2×0.197341109888401-π/2
    0.394682219776802-1.57079632675     		φ = -1.17611411
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.84442015} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.677490°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17611411 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.386375°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104012 KachelY 99116 1.84442015 -1.17611411 105.677490 -67.386375
    Oben rechts KachelX + 1 104013 KachelY 99116 1.84446809 -1.17611411 105.680237 -67.386375
    Unten links KachelX 104012 KachelY + 1 99117 1.84442015 -1.17613254 105.677490 -67.387431
    Unten rechts KachelX + 1 104013 KachelY + 1 99117 1.84446809 -1.17613254 105.680237 -67.387431
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17611411--1.17613254) × R
    1.84299999999027e-05 × 6371000     		dl = 117.41752999938m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17611411--1.17613254) × R
    1.84299999999027e-05 × 6371000     		dr = 117.41752999938m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.84442015-1.84446809) × cos(-1.17611411) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.384514856576507 × 6371000     		do = 117.440734610797m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.84442015-1.84446809) × cos(-1.17613254) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.38449784343166 × 6371000     		du = 117.435538358442m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17611411)-sin(-1.17613254))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.384514856576507-0.38449784343166)×R²
    abs(1.84446809-1.84442015)×1.7013144847533e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.7013144847533e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.7013144847533e-05×40589641000000     		ar = 13789.295914139m²