Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 104011 / 99598
↖ ↑ ↗
← S 67.890019°
E105.674743°		 ← 114.96 m → S 67.890019°
E105.677490°		 →
↑
114.93 m
↓
↑
114.93 m
↓
S 67.891053°
E105.674743°		 ← 114.95 m →
13 212 m²		 S 67.891053°
E105.677490°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104011 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99598 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.793544769287109 y=0.759876251220703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.793544769287109 × 217)
    floor (0.793544769287109 × 131072)
    floor (104011.5)     		tx = 104011
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759876251220703 × 217)
    floor (0.759876251220703 × 131072)
    floor (99598.5)     		ty = 99598
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104011 / 99598 ti = "17/104011/99598"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104011/99598.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104011 ÷ 217
    104011 ÷ 131072     		x = 0.793540954589844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99598 ÷ 217
    99598 ÷ 131072     		y = 0.759872436523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.793540954589844 × 2 - 1) × π
    0.587081909179688 × 3.1415926535     		Λ = 1.84437221
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.759872436523438 × 2 - 1) × π
    -0.519744873046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.63282667485835
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.84437221} λ = 1.84437221}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63282667485835))-π/2
    2×atan(0.195376526936253)-π/2
    2×0.192945985765306-π/2
    0.385891971530611-1.57079632675     		φ = -1.18490436
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.84437221} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.674743°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18490436 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.890019°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104011 KachelY 99598 1.84437221 -1.18490436 105.674743 -67.890019
    Oben rechts KachelX + 1 104012 KachelY 99598 1.84442015 -1.18490436 105.677490 -67.890019
    Unten links KachelX 104011 KachelY + 1 99599 1.84437221 -1.18492240 105.674743 -67.891053
    Unten rechts KachelX + 1 104012 KachelY + 1 99599 1.84442015 -1.18492240 105.677490 -67.891053
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18490436--1.18492240) × R
    1.80400000000525e-05 × 6371000     		dl = 114.932840000334m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18490436--1.18492240) × R
    1.80400000000525e-05 × 6371000     		dr = 114.932840000334m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.84437221-1.84442015) × cos(-1.18490436) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.376385660667081 × 6371000     		do = 114.957868934557m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.84437221-1.84442015) × cos(-1.18492240) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.376368947211914 × 6371000     		du = 114.952764215144m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18490436)-sin(-1.18492240))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.376385660667081-0.376368947211914)×R²
    abs(1.84442015-1.84437221)×1.67134551676273e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.67134551676273e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.67134551676273e-05×40589641000000     		ar = 13212.1410075486m²