Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 104011 / 99115
↖ ↑ ↗
← S 67.385318°
E105.674743°		 ← 117.45 m → S 67.385318°
E105.677490°		 →
↑
117.48 m
↓
↑
117.48 m
↓
S 67.386375°
E105.674743°		 ← 117.44 m →
13 797 m²		 S 67.386375°
E105.677490°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104011 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99115 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.793544769287109 y=0.756191253662109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.793544769287109 × 217)
    floor (0.793544769287109 × 131072)
    floor (104011.5)     		tx = 104011
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756191253662109 × 217)
    floor (0.756191253662109 × 131072)
    floor (99115.5)     		ty = 99115
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104011 / 99115 ti = "17/104011/99115"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104011/99115.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104011 ÷ 217
    104011 ÷ 131072     		x = 0.793540954589844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99115 ÷ 217
    99115 ÷ 131072     		y = 0.756187438964844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.793540954589844 × 2 - 1) × π
    0.587081909179688 × 3.1415926535     		Λ = 1.84437221
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.756187438964844 × 2 - 1) × π
    -0.512374877929688 × 3.1415926535     		Φ = -1.60967315234187
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.84437221} λ = 1.84437221}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60967315234187))-π/2
    2×atan(0.199952957551795)-π/2
    2×0.197350326317426-π/2
    0.394700652634853-1.57079632675     		φ = -1.17609567
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.84437221} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.674743°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17609567 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.385318°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104011 KachelY 99115 1.84437221 -1.17609567 105.674743 -67.385318
    Oben rechts KachelX + 1 104012 KachelY 99115 1.84442015 -1.17609567 105.677490 -67.385318
    Unten links KachelX 104011 KachelY + 1 99116 1.84437221 -1.17611411 105.674743 -67.386375
    Unten rechts KachelX + 1 104012 KachelY + 1 99116 1.84442015 -1.17611411 105.677490 -67.386375
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17609567--1.17611411) × R
    1.8440000000064e-05 × 6371000     		dl = 117.481240000407m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17609567--1.17611411) × R
    1.8440000000064e-05 × 6371000     		dr = 117.481240000407m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.84437221-1.84442015) × cos(-1.17609567) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.384531878821866 × 6371000     		do = 117.445933642682m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.84437221-1.84442015) × cos(-1.17611411) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.384514856576507 × 6371000     		du = 117.440734610797m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17609567)-sin(-1.17611411))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.384531878821866-0.384514856576507)×R²
    abs(1.84442015-1.84437221)×1.70222453586e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.70222453586e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.70222453586e-05×40589641000000     		ar = 13797.3885234841m²