Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 104010 / 99662
↖ ↑ ↗
← S 67.956086°
E105.671997°		 ← 114.61 m → S 67.956086°
E105.674743°		 →
↑
114.61 m
↓
↑
114.61 m
↓
S 67.957117°
E105.671997°		 ← 114.60 m →
13 135 m²		 S 67.957117°
E105.674743°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104010 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99662 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.793537139892578 y=0.760364532470703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.793537139892578 × 217)
    floor (0.793537139892578 × 131072)
    floor (104010.5)     		tx = 104010
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760364532470703 × 217)
    floor (0.760364532470703 × 131072)
    floor (99662.5)     		ty = 99662
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104010 / 99662 ti = "17/104010/99662"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104010/99662.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104010 ÷ 217
    104010 ÷ 131072     		x = 0.793533325195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99662 ÷ 217
    99662 ÷ 131072     		y = 0.760360717773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.793533325195312 × 2 - 1) × π
    0.587066650390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.84432428
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.760360717773438 × 2 - 1) × π
    -0.520721435546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.63589463643404
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.84432428} λ = 1.84432428}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63589463643404))-π/2
    2×atan(0.194778037799095)-π/2
    2×0.192369437279685-π/2
    0.384738874559369-1.57079632675     		φ = -1.18605745
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.84432428} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.671997°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18605745 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.956086°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104010 KachelY 99662 1.84432428 -1.18605745 105.671997 -67.956086
    Oben rechts KachelX + 1 104011 KachelY 99662 1.84437221 -1.18605745 105.674743 -67.956086
    Unten links KachelX 104010 KachelY + 1 99663 1.84432428 -1.18607544 105.671997 -67.957117
    Unten rechts KachelX + 1 104011 KachelY + 1 99663 1.84437221 -1.18607544 105.674743 -67.957117
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18605745--1.18607544) × R
    1.79899999999122e-05 × 6371000     		dl = 114.614289999441m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18605745--1.18607544) × R
    1.79899999999122e-05 × 6371000     		dr = 114.614289999441m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.84432428-1.84437221) × cos(-1.18605745) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.375317115369216 × 6371000     		do = 114.607596242958m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.84432428-1.84437221) × cos(-1.18607544) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.375300440441018 × 6371000     		du = 114.602504353034m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18605745)-sin(-1.18607544))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.375317115369216-0.375300440441018)×R²
    abs(1.84437221-1.84432428)×1.66749281971801e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.66749281971801e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.66749281971801e-05×40589641000000     		ar = 13135.3764705008m²