Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10401 / 2529
↖ ↑ ↗
← N 76.994992°
E 48.537598°		 ← 549.83 m → N 76.994992°
E 48.559571°		 →
↑
549.94 m
↓
↑
549.94 m
↓
N 76.990046°
E 48.537598°		 ← 550.03 m →
302 431 m²		 N 76.990046°
E 48.559571°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10401 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2529 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.634857177734375 y=0.154388427734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.634857177734375 × 214)
    floor (0.634857177734375 × 16384)
    floor (10401.5)     		tx = 10401
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154388427734375 × 214)
    floor (0.154388427734375 × 16384)
    floor (2529.5)     		ty = 2529
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10401 / 2529 ti = "14/10401/2529"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10401/2529.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10401 ÷ 214
    10401 ÷ 16384     		x = 0.63482666015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2529 ÷ 214
    2529 ÷ 16384     		y = 0.15435791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63482666015625 × 2 - 1) × π
    0.2696533203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.84714089
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15435791015625 × 2 - 1) × π
    0.6912841796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.17173330038702
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.84714089} λ = 0.84714089}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17173330038702))-π/2
    2×atan(8.7734779418517)-π/2
    2×1.4573062171112-π/2
    2.9146124342224-1.57079632675     		φ = 1.34381611
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.84714089} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 48.537598°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34381611 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.994992°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10401 KachelY 2529 0.84714089 1.34381611 48.537598 76.994992
    Oben rechts KachelX + 1 10402 KachelY 2529 0.84752439 1.34381611 48.559571 76.994992
    Unten links KachelX 10401 KachelY + 1 2530 0.84714089 1.34372979 48.537598 76.990046
    Unten rechts KachelX + 1 10402 KachelY + 1 2530 0.84752439 1.34372979 48.559571 76.990046
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34381611-1.34372979) × R
    8.63199999998621e-05 × 6371000     		dl = 549.944719999121m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34381611-1.34372979) × R
    8.63199999998621e-05 × 6371000     		dr = 549.944719999121m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.84714089-0.84752439) × cos(1.34381611) × R
    0.000383499999999981 × 0.225036227103871 × 6371000     		do = 549.826175403978m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.84714089-0.84752439) × cos(1.34372979) × R
    0.000383499999999981 × 0.225120332191662 × 6371000     		du = 550.03166755672m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34381611)-sin(1.34372979))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.225036227103871-0.225120332191662)×R²
    abs(0.84752439-0.84714089)×8.41050877917748e-05×R²
    0.000383499999999981×8.41050877917748e-05×6371000²
    0.000383499999999981×8.41050877917748e-05×40589641000000     		ar = 302430.506929339m²